Beweis mit komplexen Zahlen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:19 Mo 28.05.2012 | | Autor: | Hanz |
| Aufgabe | | Es ist zu zeigen, dass zu jedem [mm] z\in\IC\backslash(-\infty,0] [/mm] genau ein [mm] w\in\IC [/mm] gibt mit [mm] w^2=z [/mm] und Re($w$)>0. Man nennt $w$ den Hauptteil der Wurzel(funktion) von $z$ und schreibt [mm] \sqrt{z}. [/mm] |
Hallo, ich will diese obige Aufgabe verstehen und zeige zunächst mal, was ich als Ansatz habe:
Sei $w=x+iy$ und $z=a+ib$.
[mm] w^2=z \gdw x^2-y^2+2ixy=a+ib [/mm] Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn ihre Realteile und Imaginärteile übereinstimmen, deshalb erhalten wir:
(1) [mm] x^2-y^2=a [/mm] und
(2) $2xy=b$
Mit (2) und der Bedingung Re($w$)=x>0 bekommen wir: [mm] y=\frac{b}{2x}.
[/mm]
Einsetzen in (1) liefert: [mm] x^2-\frac{b^2}{4x^2}=a
[/mm]
Mit [mm] t=x^2 [/mm] folgt: [mm] t-\frac{b^2}{4t}=a. [/mm] Lösen wir das ganze nach t auf, bekommen wir die beiden Lösungen:
[mm] t_{\pm}=\frac{a}{2}\pm\frac{1}{2}\w{a^2+b^2} [/mm] = [mm] \frac{a}{2}\pm\frac{1}{2}|z|
[/mm]
Nun gilt [mm] t_{+}>0 [/mm] und [mm] t_{-}<0, [/mm] also folgt: [mm] x=\w{t_+}=\w{\frac{a+|z|}{2}} [/mm] und [mm] y=\frac{b}{2x}=\frac{b}{2\w{\frac{a+|z|}{2}}}
[/mm]
Jetzt weiss ich nicht , was ich weiter tun soll, also wie ich jetzt begründen kann, dass es z.B. eindeutig ist...
Warum wird eigtl. das Intervall [mm] (-\infty,0] [/mm] in der Aufgabe ausgeschlossen?!
Irgendwie verstehe ich die Aufgabe im Ganzen nicht so wirklich :(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:48 Mo 28.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es ist zu zeigen, dass zu jedem
> [mm]z\in\IC\backslash(-\infty,0][/mm] genau ein [mm]w\in\IC[/mm] gibt mit
> [mm]w^2=z[/mm] und Re([mm]w[/mm])>0. Man nennt [mm]w[/mm] den Hauptteil der
> Wurzel(funktion) von [mm]z[/mm] und schreibt [mm]\sqrt{z}.[/mm]
> Hallo, ich will diese obige Aufgabe verstehen und zeige
> zunächst mal, was ich als Ansatz habe:
>
> Sei [mm]w=x+iy[/mm] und [mm]z=a+ib[/mm].
> [mm]w^2=z \gdw x^2-y^2+2ixy=a+ib[/mm] Zwei komplexe Zahlen sind
genau dann
> gleich, wenn ihre Realteile und Imaginärteile
> übereinstimmen, deshalb erhalten wir:
>
> (1) [mm]x^2-y^2=a[/mm] und
> (2) [mm]2xy=b[/mm]
>
> Mit (2) und der Bedingung Re([mm]w[/mm])=x>0 bekommen wir:
> [mm]y=\frac{b}{2x}.[/mm]
>
> Einsetzen in (1) liefert: [mm]x^2-\frac{b^2}{4x^2}=a[/mm]
>
> Mit [mm]t=x^2[/mm] folgt: [mm]t-\frac{b^2}{4t}=a.[/mm] Lösen wir das ganze
> nach t auf, bekommen wir die beiden Lösungen:
>
> [mm]t_{\pm}=\frac{a}{2}\pm\frac{1}{2}\w{a^2+b^2}[/mm] =
> [mm]\frac{a}{2}\pm\frac{1}{2}|z|[/mm]
>
> Nun gilt [mm]t_{+}>0[/mm] und [mm]t_{-}<0,[/mm] also folgt:
> [mm]x=\w{t_+}=\w{\frac{a+|z|}{2}}[/mm] und
> [mm]y=\frac{b}{2x}=\frac{b}{2\w{\frac{a+|z|}{2}}}[/mm]
>
> Jetzt weiss ich nicht , was ich weiter tun soll, also wie
> ich jetzt begründen kann, dass es z.B. eindeutig ist...
Nicht "es" ist eindeutig, sondern zu wie in der Aufgabe gegebenem [mm] $z\,$ [/mm] ist das wie in der Aufgabe gegebene [mm] $w\,$ [/mm] eindeutig.
Schreib' Dir das doch mal genau auf. Eigentlich steckt das oben in Deinen Überlegungen schon mit drin. Wenn Du's nicht glaubst, dann nimm' halt an, es gäbe [mm] $w_1,w_2$ [/mm] mit [mm] $w_1^2=w_2^2=z$ [/mm] und folgere dann, dass [mm] $w_1=w_2$ [/mm] gilt. Aber eigentlich steckt das bei Deinen Überlegungen schon mit drin.
Ich mach' Dir mal ein anderes (einfaches) Beispiel:
Man zeige, dass es zu jedem $r [mm] \ge [/mm] 0$ genau $x [mm] \ge [/mm] 0$ mit [mm] $x^2=r\,$ [/mm] gibt. (Die Existenz von [mm] $\sqrt{r}$ [/mm] werde nicht mehr bewiesen, sondern das nehmen wir als gegeben hin - uns interessiert hier nur noch die Eindeutigkeit.)
Für $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt [mm] $x^2=r$ [/mm] genau dann, wenn [mm] $x^2-r=0 \gdw (x-\sqrt{r})(x+\sqrt{r})=0\,.$ [/mm] Ein Produkt ist genau dann [mm] $=0\,,$ [/mm] wenn mindestens einer der Faktoren verschwindet (d.h. gleich Null ist). Also folgt [mm] $x^2=r$ [/mm] genau dann, wenn $x [mm] \in \{-\sqrt{r},\;\sqrt{r}\}\,.$ [/mm] Weil wegen $x [mm] \ge [/mm] 0$ aber [mm] $x=-\sqrt{r}$ [/mm] für $r > [mm] 0\,$ [/mm] nicht in Frage kommt, bleibt nur $x [mm] \in \{\sqrt{r}\}$ [/mm] bzw. [mm] $x=\sqrt{r}$ [/mm] als einzige Lösung übrig.
> Warum wird eigtl. das Intervall [mm](-\infty,0][/mm] in der Aufgabe
> ausgeschlossen?!
Naja, schau' mal in Deine Rechnungen rein, wo Du "genau dann, wenn" Aussagen hast. Mach' Dir vielleicht auch mal klar, was die Bedeutung der [mm] $\Rightarrow$-Folgerungen [/mm] (diese liefern notwendige Bedingungen) und der [mm] $\Leftarrow$-Folgerungen [/mm] sind (diese liefern hinreichende Bedingungen).
Beispielsweise auch oben:
Nehmen wir mal an, wir wüßten schon, dass ein reelles Polynom einer reellen Variablen vom Grad [mm] $n\,$ [/mm] höchstens [mm] $n\,$ [/mm] Nullstellen hat. Definieren wir [mm] $f(x):=x^2-r\,,$ [/mm] so ist das Lösen der Aufgabe [mm] $x^2=r$ [/mm] äquivalent dazu, die Nullstellen von [mm] $f\,$ [/mm] zu finden. Damit wüßten wir, dass [mm] $x^2=r$ [/mm] höchstens zwei Lösungen [mm] $x_1,x_2$ [/mm] mit [mm] $x_1^2=x_2^2=r$ [/mm] haben kann. Wenn wir nun auch aus irgendeinem Grund wissen, dass [mm] $x_1=-x_2$ [/mm] gilt, wissen wir auch, dass es zu jedem reellen [mm] $r\,$ [/mm] höchstens eine Lösung [mm] $\ge [/mm] 0$ geben kann. (Nehmen wir dann nämlich an, dass es zwei Lösungen [mm] $\ge [/mm] 0$ gäbe, also etwa [mm] $x_1,x_1'$ [/mm] beide [mm] $\ge [/mm] 0$ und [mm] $x_1 \not=x_1'$ [/mm] mit [mm] $x_1^2=x_1'^2=r\,,$ [/mm] so hätte die Funktion [mm] $f(x)=x^2-r$ [/mm] andernfalls ja wenigstens [mm] $\{x_2,\;x_1,\;x_1'\}$ [/mm] als Teilmenge der Nullstellen von [mm] $f\,,$ [/mm] was den Widerspruch erzeugte, dass [mm] $f\,$ [/mm] echt mehr als zwei Nullstellen hätte.)
> Irgendwie verstehe ich die Aufgabe im Ganzen nicht so
> wirklich :(
Doch. Du rechnest halt ein wenig zu viel "schematisch, wie in der Schule gelernt" und vergisst dabei nur, die mal klarzumachen, was die eigentlichen mathematischen Bedeutungen Deiner Rechnungen sind.
Ich schreib's halt mal alles nochmal mehr oder weniger ab und kommentiere das mal:
Wir waren oben stehen geblieben bei der Erkenntnis, dass zwei komplexe Zahlen genau dann gleich sind, wenn ihre Real- und ihre Imaginärteile gleich sind. Daraus folgert man, dass (mit den an [mm] $z\,$ [/mm] und [mm] $w\,$ [/mm] wie in der Aufgabe gestellten Voraussetzungen) nun zu zeigen ist, dass das Gleichungssystem
(1) [mm]x^2-y^2=a[/mm] und
(2) [mm]2xy=b[/mm]
ein eindeutig bestimmtes Lösungspaar $(x,y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] hat. Wegen $x > [mm] 0\,$ [/mm] ist aber (2) gleichwertig zu [mm] $y=b/(2x)\,,$ [/mm] also haben wir zu zeigen, dass
(1) [mm]x^2-y^2=a[/mm] und
(2') [mm] $y=\frac{b}{2x}$
[/mm]
ein eindeutig bestimmtes Lösungspaar $(x,y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] hat.
Wenn Du nun (2') in (1) einsetzt, so folgt:
Wenn (1) und (2') gelten, dann muss notwendigerweise
[mm] $$x^2=\frac{b^2}{4x^2}+a$$
[/mm]
[mm] $$\gdw (x^2)^2-ax^2-b^2/4=0$$
[/mm]
gelten.
Das ist nun eine Gleichung, die wir mit der pq-Formel behandeln können: Sie ist gleichwertig zu
[mm] $$x^2=\frac{a}{2}\pm\sqrt{\frac{a^2+b^2}{4}}=\frac{a \pm |z|}{2}\,.$$
[/mm]
Weil [mm] $x\,$ [/mm] reell ist, ist sicher [mm] $x^2 \ge 0\,.$ [/mm] Weil $|a| [mm] \le |z|=\sqrt{a^2+b^2}\,,$ [/mm] muss, falls das aus (1) und (2') bestehende Gleichungssystem lösbar ist, gelten
[mm] $$x^2=\frac{a+|z|}{2}\,.$$
[/mm]
Somit liefert (1) und (2') die Notwendigkeit
[mm] $$x=\pm \sqrt{\frac{a+|z|}{2}}\,.$$
[/mm]
Weil nun aber [mm] $\text{Re}(w)=x [/mm] > 0$ sein soll, kann [mm] $x=-\sqrt{\frac{a+|z|}{2}} \le [/mm] 0$ nicht sein. Also bleibt nur [mm] $x=\sqrt{\frac{a+|z|}{2}}\,.$ [/mm]
Wegen des roten Satzes oben siehst Du nun aber, dass wir bisher nur gezeigt haben [mm] ($z\,$ [/mm] und [mm] $w\,$ [/mm] seien wie in der Aufgabe gegeben):
[mm] $$w^2=z \text{ und }\text{Re}(w) [/mm] > 0$$
[mm] $$\Rightarrow \blue{w}=x+iy \text{ mit }x:=\text{Re}(\blue{w})\,, y:=\text{Im}(\blue{w}) \text{ erfüllt }x=\sqrt{\frac{a+|z|}{2}} \text{ und }y=\frac{b}{2x}=\frac{b}{2}*\sqrt{\frac{2}{a+|z|}}\,.$$
[/mm]
Das beinhaltet die Eindeutigkeit!
(Schreibfehler korrigiert!)
Was eigentlich noch zu zeigen ist: Es ist $x > [mm] 0\,$ [/mm] (das ist aber schnell klar, denn aus $z [mm] \in \IC \setminus (-\infty,0]$ [/mm] folgt $|z| > [mm] -\text{Re}(z)=\blue{-}a$ [/mm] (weiterer Schreibfehler korrigiert) - das beantwortet nun auch eine andere von Dir gestellte Frage!) und es ist auch zu zeigen, dass in der Tat
[mm] $$\left(\;\;\underbrace{\sqrt{\frac{a+|z|}{2}}+i*\frac{b}{2}*\sqrt{\frac{2}{a+|z|}}}_{\blue{=w}}\;\;\right)^2=\underbrace{a+i*b}_{\blue{=z}}\;\;\;\blue{\text{(Ergänzungen angefügt!)}}$$
[/mm]
gilt (denn oben hatten wir ja wegen des roten Satzes leider nur noch mit [mm] $\Rightarrow$ [/mm] argumentiert - wir wären schon fertig, wenn dort auch [mm] $\Leftarrow$ [/mm] gegolten hätte).
P.S.
Um Dir mal beispielhaft klarzumachen, warum man $z [mm] \in \IC \setminus (-\infty,0]$ [/mm] wohl voraussetzt:
Betrachte halt mal [mm] $z=-1\,,$ [/mm] also [mm] $a=-1\,$ [/mm] und [mm] $b=0\,$ [/mm] und versuche mal, die Rechnungen von oben durchzugehen. Dann wirst Du bei dem Gleichungssystem schnell sehen, dass aus $x > [mm] 0\,$ [/mm] wegen (2) dann $y=0$ folgt. Dann bekommst Du in (1) einen Widerspruch. Und daher siehst Du, dass für [mm] $z=-1\,$ [/mm] die Gleichung [mm] $w^2=-1\,$ [/mm] mit einem [mm] $w\,$ [/mm] mit [mm] $\text{Re}(w) [/mm] > 0$ nicht lösbar sein wird. Und analog kannst Du Dir auch mal andere $z [mm] \le [/mm] 0$ betrachten.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:25 Di 29.05.2012 | | Autor: | Hanz |
Hi, erstmal viiiielen Dank für die sehr ausführliche Antwort, das hilft mit schonmal sehr weiter!!! Ich habe allerdings noch eine Frage zu diesem Schritt:
> Wegen des roten Satzes oben siehst Du nun aber, dass wir
> bisher nur gezeigt haben ([mm]z\,[/mm] und [mm]w\,[/mm] seien wie in der
> Aufgabe gegeben):
> [mm]w^2=z \text{ und }\text{Re}(w) > 0[/mm]
> [mm]\Rightarrow z=x+iy \text{ mit }x:=\text{Re}(z)\,, y:=\text{Im}(z) \text{ erfüllt }x=\sqrt{\frac{a+|z|}{2}} \text{ und }y=\frac{b}{2x}=\frac{b}{2}*\sqrt{\frac{2}{a+|z|}}\,.[/mm]
>
> Das beinhaltet die Eindeutigkeit!
>
Hast du hier jetzt z=x+iy gewählt, weil du quasi ein anderes z betrachten wolltest, als unser z=a+ib davor? War es Zufall, dass du z=x+iy wie unser w=x+iy gewählt hast?
Die Eindeutigkeit folgt also, wenn man ein anderes z wählt und dennoch dasselbe herauskommt?
> Was eigentlich noch zu zeigen ist: Es ist [mm]x > 0\,[/mm] (das ist
> aber schnell klar, denn aus [mm]z \in \IC \setminus (-\infty,0][/mm]
> folgt [mm]|z| > -\text{Re}(z)=a[/mm] - das beantwortet nun auch eine
Die unterste Zeile ist mir hier auch nicht ganz klar. In der Aufgabe war ja [mm]w \in \IC \setminus (-\infty,0][/mm]. Gilt nun wegen [mm] w^2=z, [/mm] dass auch [mm]z \in \IC \setminus (-\infty,0][/mm] sein muss?
Der Betrag von z ist ja natürliche eine positive Zahl, deshalb gilt ja |z|>-Re(z). Aber warum ist -Re(z)=a?!
Grüße,
Hanz
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:35 Di 29.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Hanz,
> Hi, erstmal viiiielen Dank für die sehr ausführliche
> Antwort, das hilft mit schonmal sehr weiter!!! Ich habe
> allerdings noch eine Frage zu diesem Schritt:
>
>
> > Wegen des roten Satzes oben siehst Du nun aber, dass wir
> > bisher nur gezeigt haben ([mm]z\,[/mm] und [mm]w\,[/mm] seien wie in der
> > Aufgabe gegeben):
> > [mm]w^2=z \text{ und }\text{Re}(w) > 0[/mm]
> > [mm]\Rightarrow z=x+iy \text{ mit }x:=\text{Re}(z)\,, y:=\text{Im}(z) \text{ erfüllt }x=\sqrt{\frac{a+|z|}{2}} \text{ und }y=\frac{b}{2x}=\frac{b}{2}*\sqrt{\frac{2}{a+|z|}}\,.[/mm]
>
> >
> > Das beinhaltet die Eindeutigkeit!
> >
>
> Hast du hier jetzt z=x+iy gewählt, weil du quasi ein
> anderes z betrachten wolltest, als unser z=a+ib davor? War
> es Zufall, dass du z=x+iy wie unser w=x+iy gewählt hast?
> Die Eindeutigkeit folgt also, wenn man ein anderes z
> wählt und dennoch dasselbe herauskommt?
nein, ich habe mich verschrieben (ich korrigiere das gleich):
Natürlich ist [mm] $x\,$ [/mm] der Realteil von [mm] $w\,$ [/mm] und [mm] $y\,$ [/mm] der Imaginärteil von [mm] $w\,$ [/mm] und es ist nachzurechnen, dass
[mm] $$w^2=z$$
[/mm]
bzw.
[mm] $$(x+iy)^2=a+ib\,.$$
[/mm]
Wenn Du genau liest, habe ich oben zwar [mm] $x=\text{Re}(z)$ [/mm] geschrieben, aber mit [mm] $x=\text{Re}(w)$ [/mm] gerechnet. Analog mit dem Imaginärteil!
>
>
> > Was eigentlich noch zu zeigen ist: Es ist [mm]x > 0\,[/mm] (das ist
> > aber schnell klar, denn aus [mm]z \in \IC \setminus (-\infty,0][/mm]
> > folgt [mm]|z| > -\text{Re}(z)=a[/mm] - das beantwortet nun auch eine
>
> Die unterste Zeile ist mir hier auch nicht ganz klar. In
> der Aufgabe war ja [mm]w \in \IC \setminus (-\infty,0][/mm]. Gilt
> nun wegen [mm]w^2=z,[/mm] dass auch [mm]z \in \IC \setminus (-\infty,0][/mm]
> sein muss?
Das gleiche wie oben: [mm] $x=\text{Re}(w)$ [/mm] und [mm] $y=\text{Im}(w)$ [/mm] meinte ich natürlich. Und wir sollten zeigen, dass unser gefundenes/definiertes $w=x+iy$ dann auch $x > [mm] 0\,$ [/mm] erfüllt.
> Der Betrag von z ist ja natürliche eine positive Zahl,
> deshalb gilt ja |z|>-Re(z). Aber warum ist -Re(z)=a?!
Wo steht [mm] $-\text{Re}(z)=a$?
[/mm]
An der besagten Stelle sollte natürlich [mm] $-\text{Re}(z)=-\;a$ [/mm] stehen - wir hatten ja [mm] $z=a+i*b\,$ [/mm] mit reellen [mm] $a,\,b\,.$
[/mm]
Analog ist [mm] $\text{Re}(w)=x$ [/mm] und [mm] $\text{Im}(w)=y$ [/mm] wegen $w=x+i*y$ mit reellen [mm] $x,\,y\,.$
[/mm]
Was oben wichtig ist: Wir wissen $z [mm] \in \IC \setminus (0,\infty]\,.$ [/mm] Nun ist aber [mm] $\text{Re}(z)+|z|=0$ [/mm] genau dann, wenn mit [mm] $a:=\text{Re}(z)$ [/mm] und [mm] $b:=\text{Im}(z)$ [/mm] gilt
[mm] $$a+\sqrt{a^2+b^2}=0\,.$$
[/mm]
Also $a+|z|=0$ gilt genau dann, wenn
[mm] $$\sqrt{a^2+b^2}=-a\,.$$
[/mm]
Dann muss aber notwendigerweise $a [mm] \le 0\,$ [/mm] sein. Wenn aber $a [mm] \le [/mm] 0$ ist, so würde aus $b [mm] \not=0$ [/mm] folgen, dass [mm] $\sqrt{a^2+b^2} [/mm] > [mm] \sqrt{a^2}=|a|=-a\,,$ [/mm] also könnte dann [mm] $\sqrt{a^2+b^2}=-a$ [/mm] nicht gelten. Also liefert [mm] $a+\sqrt{a^2+b^2}=0$ [/mm] bzw. $a+|z|=0$ notwendigerweise $a [mm] \le [/mm] 0$ und [mm] $b=0\,,$ [/mm] also $z [mm] \in (-\infty,0]\,.$ [/mm] Da wir aber $z [mm] \notin (-\infty,0]$ [/mm] als Voraussetzung gegeben hatten, ist stets $a+|z| [mm] \not=0\,.$ [/mm] Das brauchten wir auch in der Rechnung - denn durch Null teilen wollen wir ja nicht!
P.S.
Ich schau' nochmal über meine Antwort drüber und korrigiere die. Vielleicht klärt sich ja alles, wenn ich meine Fehler korrigiert habe - also warte am besten, bis ich damit fertig bin (ich schreibe dann in die Überschrift "korrigiert").
Hab' das nun größtenteils korrigiert. Natürlich können sich da immer noch kleine Denk- oder Schreibfehler aufhalten - für jeden Hinweis diesbezüglich bin ich (Dir und auch jeder/jedem anderen) dankbar!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:56 Di 29.05.2012 | | Autor: | Hanz |
Vielen Dank, jetzt ist es mir klar geworden :))))))))
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