Beweis mit vollst. Induktion? < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
wenn ich zeigen will, dass
[mm] \forall [/mm] k k = f(m) gilt
mit k>0 und m [mm] \ge [/mm] 1
und
f(m) := [mm] [log_2 [/mm] m] + 1 wobei [ ] die Gaußklammer sein soll.
Wie würdet Ihr das machen? Vollst. Induktion?
Also im Grunde muss man ja zeigen, dass [mm] \forall [/mm] k > 0 [mm] \exists [/mm] m [mm] \ge [/mm] 1 k=f(m)?!
Ich meine für k=1 wäre das ja kein Problem:
1 = 1 mit m=1
Aber wie zeige ich es für alle k?
Gruß,
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:05 Sa 19.04.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
Also die Behauptung ist :
[mm] \forall k\in\IN \quad \exists m\in\IN [/mm] : k = f(m)=[ [mm] log_2(m) [/mm] ] + 1
D.h. für ein gegebenes k soll k = [ [mm] log_2(m) [/mm] ] +1.
Wegen [a] [mm] \le [/mm] a gilt dann [mm] log_2(m) [/mm] -1+1 = [mm] log_2(m) [/mm] < k [mm] \le log_2(m) [/mm] + 1.
Ciao.
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Hallo Zneques,
vielen Dank für Deine schnelle Antwort!!
> Also die Behauptung ist :
> [mm]\forall k\in\IN \quad \exists m\in\IN[/mm] : k = f(m)=[
> [mm]log_2(m)[/mm] ] + 1
>
> D.h. für ein gegebenes k soll k = [ [mm]log_2(m)[/mm] ] +1.
> Wegen [a] [mm]\le[/mm] a gilt dann [mm]log_2(m)[/mm] -1+1 = [mm]log_2(m)[/mm] < k [mm]\le log_2(m)[/mm]
> + 1.
Hat man damit nun wirklich schon bewiesen, dass für jedes k [mm] \in\IN [/mm] ein m existiert mit k=f(m)? Irgendwie kann ich das gerade nicht so ganz nachvollziehen, dass man das damit schon gezeigt hat. Wäre toll, wenn Du mir nochmal helfen könntest.
Gruß,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:27 Sa 19.04.2008 | | Autor: | Zneques |
> Hat man damit nun wirklich schon bewiesen ... ?
Nein.
Der Beweis ist damit noch nicht vollständig.
Aber, unter Umständen könnte man damit mindestens eines der m finden (umstellen), das für jedes k existieren soll. Wenn das dann auch noch [mm] \ge [/mm] 1 und [mm] \in\IN [/mm] wäre, dann sieht die Sache doch schon mehr nach Beweis aus.
Ciao.
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Hallo,
könnte man es auch so beweisen?
[mm] \forall k\in\IN \exists m\in\IN [/mm] : k = f(m) = [mm] [log_2(m)] [/mm] +1
Ich setze m = [mm] 2^{k-1} [/mm] und beweise per vollst. Induktion die o.g. Behauptung.
k=1 ist offensichtlich 1=1
k=k+1
k+1 = [mm] [log_2 2^{k-1+1}]+1
[/mm]
k+1 = [mm] [log_2 2^k]+1
[/mm]
Tja, und nun, wie mache ich hier nun weiter?
Danke,
Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:00 So 20.04.2008 | | Autor: | Zneques |
> Ich setze m = $ [mm] 2^{k-1} [/mm] $.
Ja, gut.
Und zwar wegen :
[mm] log_2(m) [/mm] < k [mm] \le log_2(m) [/mm] +1 | [mm] 2^x
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] m < [mm] 2^k \le [/mm] 2*m
[mm] \gdw \frac{m}{2} [/mm] < [mm] 2^{k-1} \le [/mm] m
> beweise per vollst. Induktion die o.g. Behauptung.
Ist gar nicht nötig. Aber um mal zu sehen wie es aussehen sollte :
IA: k=1 [mm] \Rightarrow k=1=log_2(m)+1=0+1=1 [/mm] mit [mm] m=2^{1-1}=1\ge1
[/mm]
IS: k=n [mm] \to [/mm] n+1
k = n = [mm] log_2(m_{n}) [/mm] +1
[mm] \Rightarrow [/mm] n+1 = [mm] log_2(m_{n})+1+1
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] n+1 = [mm] log_2(2*m_{n})+1
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] n+1 = [mm] log_2(m_{n+1})+1 [/mm] , mit [mm] m_{n+1}=2*m_n\ge m_n\ge1
[/mm]
Einfache wäre jedoch direkt einzusetzen.
[mm] k\in\IN
[/mm]
Dann ist [mm] m=2^{k-1}\ge1 [/mm] , und
k = [mm] log_2(m)+1 [/mm] = [mm] log_2(2^{k-1})+1 [/mm] = k-1+1 =k
Ciao.
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Hallo Anna,
> Könntest Du noch einmal sagen, wie Du speziell von
> [mm]log_2(m)[/mm] +1 mit | [mm]2^x[/mm] auf
> [mm]\gdw[/mm] 2*m kommst?
da hat er ein Logarithmusgesetz benutzt
Es ist doch [mm] $\log_2(m)+\red{1}=\log_2(m)+\red{\log_2(2)}=\log_2(m\cdot{}2)=\log_2(2m)$
[/mm]
> Also [mm]2^x[/mm] angewendet auf [mm]log_2(m)[/mm] ist m und dann bleibt
> noch das +1, darauf auch [mm]2^x[/mm] angewendet...?
>
> > [mm]\gdw \frac{m}{2}[/mm] < [mm]2^{k-1} \le[/mm] m
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:47 So 20.04.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo schachuzipus,
ach stimmt, logisch. :-( DANKE!
Gruß,
Anna
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Hallo ihr beiden,
um was geht es eigentlich in der Aufgabe, mal so ein bisschen anschaulich betrachtet?
Ich glaube doch darum, dass die Logarithmusfunktion nur sehr langsam zunimmt, und dies bedeutet, dass ihr Wert nur um ganz wenig zunimmt, wenn man jeweils den x-Wert um 1 erhöht. Dann muss praktisch jeder ganzzahlige y-Wert einmal als abgerundeter Wert von f(x) vorkommen. Es genügt also wohl im wesentlichen zu zeigen, dass jeweils 0 < [mm] \Delta [/mm] y < 1 ist für [mm] \Delta [/mm] x = 1 , dass aber trotzdem alle noch so hohen y-Werte irgendwann (für genügend grosse x überschritten werden.
Gruß al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:33 So 20.04.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo al-Chwarizmi,
ja, sowas in der Art wollte ich zeigen. Bei mir hapert es halt manchmal (noch) an der
konkreten / korrekten mathematischen Beweisführung, um das zu zeigen,
was ich zeigen will.
Gruß,
Anna
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. Nur da muss man erstmal
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