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Hallo, stehe etwas auf dem Schlauch. Ich habe eine Aufgabe bei der ich nicht weiterkomme.
Beweise mittels vollständiger Induktion
..."Intergral von 0 bis unendlich"... [mm] (x^n)*(e^{-x})dx [/mm] = n!
Ich wäre für eine schnelle Hilfe sehr dankbar.
Mit freundlichen Grüßen Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Do 17.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Andreas,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Hallo, stehe etwas auf dem Schlauch. Ich habe eine Aufgabe
> bei der ich nicht weiterkomme.
>
> Beweise mittels vollständiger Induktion
>
> ..."Intergral von 0 bis unendlich"... [mm](x^n)*(e^{-x})dx[/mm] =
> n!
>
> Ich wäre für eine schnelle Hilfe sehr dankbar.
Ich habe hier schon etwas dazu geschrieben (nur Tipps, keine Komplettlösung!):
https://matheraum.de/read?f=1&t=1315&i=1346
Die Kurzfassung:
Zu zeigen:
[mm] \integral_{0}^{\infty} x^n*e^{-x}\, dx=n![/mm] [m]\forall n \in \IN_0:=\IN \cup \{0\}[/m]
Tipps:
Für $n=0$ solltest du bequem eine Stammfunktion hinschreiben und damit auch das Integral ausrechnen können, probier es mal. Falls dir etwas unklar ist, dann frage einfach nach!
Bei dem Induktionsschritt solltest du an die partielle Integration denken.
Das sind erst einmal nur ein paar Tipps, die dich dazu verleiten sollen, alleine den Lösungsweg auszuknobeln. Wenn du trotz Bemühens nicht weiterkommst, dann melde dich bitte noch einmal, dann gehen wir die Aufgabe gemeinsam durch. ![[bindafuer]](/images/smileys/bindafuer.gif "[bindafuer]")
Viele Grüße
Marcel
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Hallo, ja für n=0 bekomme ich 1 heraus, aber was muss ich denn jetzt genau machen, das ist alles schon so lange her und ich weiss nicht mehr so wirklich wie das alles geht!
Bitte helf mir
Danke im Vorraus
Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:57 Do 17.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Andreas,
> Hallo, ja für n=0 bekomme ich 1 heraus,...
Okay! Deine Stammfunktion (im Falle $n=0$) sollte (z.B.) [mm] $-e^{-x}$ [/mm] sein (ich schreibe das jetzt nur grob hin!), und damit bekommt man dann:
[mm] \integral_{0}^{\infty} e^{-x}\, dx=1[/mm], und es ist bekanntlich auch $0!=1$.
> aber was muss ich
> denn jetzt genau machen, das ist alles schon so lange her
> und ich weiss nicht mehr so wirklich wie das alles geht!
Du hast nun die Behauptung für $n=0$ nachgewiesen.
Du musst jetzt noch den Induktionsschritt durchführen:
$n [mm] \rightarrow [/mm] n+1$:
Wir berechnen mittels ![[]](/images/popup.gif) partieller Integration [mm] ($\rightarrow$ [/mm] S.166, (interne) Zählung oben rechts, Satz 17.15) das Integral:
[m]\integral_{0}^{\infty} x^{n+1}*e^{-x}\, dx[/m].
Damit du weißt, wie du die Formel anzuwenden hast, mache ich dir kleine Vorgaben:
Definiere: [m]f(x):=x^{n+1}[/m] und [mm] $g'(x):=e^{-x}$. [/mm]
Dann gilt doch:
[mm] \integral_{0}^{\infty} {x^{n+1}*e^{-x}\, dx}
= \integral_{0}^{\infty} {f(x)*g'(x)}\, dx} [/mm]
Und hierauf wendest du die partielle Integration nach der Formel, wie sie in dem Skript (siehe Link) anegegeben wird, an.
(Beachte dabei, dass wir hier $f$ und $g'$ definiert haben. Wir müssen also noch $f'$ berechnen und eine Stammfunktion zu $g'$, also $g$, bestimmen!)
Was bekommst du denn dann raus? Teilst du mir das bitte mit?
Und jetzt sind wir ja beim Induktionsschritt, d.h. wir wollen/sollten danach irgendwo die Kenntniss:
[mm] \integral_{0}^{\infty} {x^{n}*e^{-x}\, dx}=n![/mm] auch benutzen. Das ist auch schon alles.
Ist es dir jetzt klarer geworden? Bitte teile deine Rechnungen und Ergebnisse mit, damit wir sie gemeinsam besprechen können!
> Bitte helf mir
Das brauchst du nicht zu wiederholen! Ich bin doch schon dabei! 
> Danke im Vorraus
Bitteschön!
Viele Grüße
Marcel
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mmh das mit der partiellen Integration kann ich aber das mit der vollständigen Induktion ist mir nicht mehr ganz klar, hast du da nicht nen paar Tips was ich genau machen muss!
Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 Do 17.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Andreas,
> mmh das mit der partiellen Integration kann ich aber das
> mit der vollständigen Induktion ist mir nicht mehr ganz
> klar, hast du da nicht nen paar Tips was ich genau machen
> muss!
Das ist jetzt eine gute Frage, weil ich da ja nicht weiß, was genau dir nicht klar ist.
Bei der vollständigen Induktion hat man ja die Behauptung für ein [m]n \in \IN_0[/m] gezeigt, und will dann von diesem $n$ auf das folgende (also [m]n+1[/m]) schließen. (Marcel: Ich habe das geändert, weil der Satz, so formuliert, verwirren könnte)
Bei der vollständigen Induktion zeigt man (i.A.) die Behauptung für ein [mm] $n_0 \in \IN_0$ [/mm] (es könnte auch z.B. [mm] $n_0 \in \IZ$ [/mm] sein, darauf will ich jetzt nicht genauer eingehen...). Das ist der Induktionsanfang (oder auch die Induktionsverankerung).
Nun ist die Induktionsvoraussetzung, dass man ein $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] (ich bleibe, wie gesagt, jetzt mal bei [mm] $\IN_0$) [/mm] gefunden habe, für dass die Behauptung gilt. Durch den Induktionsschritt zeigt man dann (wenn der Induktionsbeweis funktioniert), dass die Behauptung dann auch für die auf $n$ folgende Zahl (also $n+1$) gilt.
D.h. du hast eine Aussage. Diese ist wahr für [mm] $n_0$.
[/mm]
Der Induktionsschritt (wenn der Induktionsbeweis geling) zeigt:
Wenn die Aussage für [mm] $n_0$ [/mm] gilt, dann gilt sie auch für [mm] $n_0+1$.
[/mm]
Wegen des Induktionsschrittes kann man dann so weiter argumentieren:
Wenn die Aussage für [mm] $n_0+1$ [/mm] gilt, dann auch für [mm] $n_0+2$.
[/mm]
Wenn sie für [mm] $n_0+2$ [/mm] gilt, dann auch für [mm] $n_0+3$ [/mm] etc.
...
D.h., wenn du ein [mm] $n_0$ [/mm] findest, so dass die Aussage für dieses [mm] $n_0$ [/mm] gilt und der Induktionsschritt $n [mm] \rightarrow [/mm] n+1$ funktioniert, so kannst du folgern, dass dann die Aussage für alle $n [mm] \ge n_0$ [/mm] gelten muss.(beachte, dass stets $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] war).
Dazu findest du im Internet einiges, im Forum hier gibt es auch einiges dazu...
Vielleicht reicht es dir aber auch, wenn ich dir den Induktionsschritt mal an einem (Standard-)Beispiel zeige:
Behauptung:
Für alle $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] gilt:
[m]\summe_{k=0}^{n}{k}=\frac{n*(n+1)}{2}[/m]
Für $n=0$: klar.
[m]n \rightarrow n+1[/m]:
Wir können jetzt voraussetzen:
(*) [m]\summe_{k=0}^{n}{k}=\frac{n*(n+1)}{2}[/m].
Weil wir von $n$ nach $n+1$ gehen wollen, müssen wir zeigen, dass wenn wir in (*) überall $n$ durch $n+1$ ersetzen, die Gleichung immer noch erfüllt ist, d.h. unsere Aufgabe besteht darin, zu zeigen:
(**) [m]\summe_{k=0}^{n+1}{k}=\frac{(n+1)*((n+1)+1)}{2}[/m]
Also nehmen wir mal die Linke Seite von (**) her, und versuchen, mit (*) (das war die Induktionsvoraussetzung) soweit umzuformen, bis die rechte Seite von (**) auch da steht:
Also:
[m]\summe_{k=0}^{n+1}{k}=(\summe_{k=0}^{n}{k})+(n+1)=...[/m], und jetzt wenden wir (*) an (das war die Induktionsvoraussetzung/Induktionsannahme):
[m]...=(\frac{n*(n+1)}{2})+(n+1)=...[/m]
Wenn die Behauptung (also (**)) stimmt, dann muss sich [m](\frac{n*(n+1)}{2})+(n+1)[/m] noch zu [m]\frac{(n+1)*((n+1)+1)}{2}[/m] umformen lassen, machen wir also oben bei den letzten $...$ mal weiter:
[m]..=(\frac{n*(n+1)}{2})+\frac{2(n+1)}{2}=\frac{n*(n+1)+2(n+1)}{2}=\frac{(n+1)*(n+2)}{2}=\frac{(n+1)*((n+1)+1)}{2}[/m]
Also ist der Induktionsschritt auch gezeigt.
Das wäre jetzt ein Standardbeispiel für die Induktion. Ich gucke aber mal nachher, ob ich nicht irgendwo eine bessere Erklärung mit mehreren Beispielen finde. Vielleicht hilft dir aber das auch schon weiter...
Viele Grüße
Marcel
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Hallo,
ich komme mit dem ganzen immer noch nicht wirklich weiter. Ich habe jetzt als Induktionsanfang n=0 und dafür bekomme ich 1 heraus. Muss ich dann jetzt als Induktionsvoraussetzung n+1 einsetzen oder muss ich 1 einsetzen (0+1=1)? Was genau ist dann der Induktionsschritt?
Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:07 Fr 18.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Andreas,
> ich komme mit dem ganzen immer noch nicht wirklich weiter.
> Ich habe jetzt als Induktionsanfang n=0 und dafür bekomme
> ich 1 heraus. Muss ich dann jetzt als
> Induktionsvoraussetzung n+1 einsetzen oder muss ich 1
> einsetzen (0+1=1)? Was genau ist dann der
> Induktionsschritt?
Der Induktionsschritt geht so:
Du setzt voraus, dass die Behauptung für ein bestimmtes $n$ gültig ist. Da ist nichts zu zeigen, das ist nur hinzuschreiben.
Was du aber jetzt zeigst, ist, dass die Behauptung dann auch für $n+1$ gilt (dass also die Behauptung auch gilt, wenn man für $n$ die Zahl $n+1$ einsetzt).
Das ist genau der Induktionsschritt.
In deinem konkreten Beispiel würde es so aussehen:
Indunktionsanfang
Die Behauptung gilt für $n=0$ (das hast du ja schon gezeigt)
Induktionsvoraussetzung
Es gelte für ein n: [mm] $\integral_{0}^{\infty} x^n*e^{-x}\, [/mm] dx=n!$
Induktionsschritt: [mm] $n\to [/mm] n+1$
Nun zeige ich, dass auch gilt: [mm] $\integral_{0}^{\infty} x^{n+1}*e^{-x}\, [/mm] dx=(n+1)!$
Beweis:
[mm] $\integral_{0}^{\infty} x^{n+1}*e^{-x}\, [/mm] dx$
[mm] $=\ldots$ [/mm] Umformungsschritte...
[mm] $=\ldots$ [/mm] weitere Umformungsschritte...
[mm] $=\ldots$ [/mm] Anwendung der Induktionsvoraussetzung (wir dürfen ja benutzen, dass [mm] $\integral_{0}^{\infty} x^n*e^{-x}\, [/mm] dx=n!$ gilt)
$=(n+1)*n!$
$=(n+1)!$
Das ist der grobe Fahrplan für deinen Beweis, die Teile mit den Umformungsschritten mußt du nun noch selbst ausfüllen. Wie Marcel ja schon andeutete, bestehen die Umformungsschritte im wesentlichen nur aus dem (einmaligen) Anwenden der partiellen Integrationsregel.
Viel Erfolg,
Marc
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:53 Fr 18.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Andreas,
mir ist es erst später aufgefallen, dass meine saloppe Formulierung zu dem Induktionsschritt total missverstanden werden kann. :-(
Ich hatte es zwar auch kurz darauf geändert, aber dann auch noch vergessen, dich darauf hinzuweisen. Lies dir aber bitte jetzt den blauen Text einmal durch:
https://matheraum.de/read?f=1&t=1349&i=1358
Ich hatte dir aber auch einen Link zur Induktion empfohlen, anscheinend hast du ihn auch nicht gesehen, oder?
https://matheraum.de/read?f=1&t=1349&i=1359
Damit (und auch mit Marc's Bemerkungen) sollte dir die Idee, die hinter dem Induktionsbeweis steckt, klar sein.
Ich hatte dir in meiner zweiten Antwort genau beschrieben, wie du im Induktionsschritt die partielle Integration verwenden sollst:
https://matheraum.de/read?f=1&t=1349&i=1356 (der Link zur partiellen Integration sollte jetzt auch funktionieren).
Du hast gesagt, partielle Integration sei kein Problem, also gehe ich auch davon aus, dass ich dir nichts weiter dazu sagen muss. Falls du merkst, dass du bei der partiellen Integration doch Schwierigkeiten hast, dann frag bitte nach, dann beseitigen wir die.
Du musst dann aber genau sagen, ab welcher Stelle dir etwas unklar ist...
Wenn dir nun klar ist, wie der Induktionsschritt abläuft und du dich genau an die Anweisungen hältst, dann steht wegen der partiellen Integration sowas da:
[mm]\integral_{0}^{\infty} x^{n+1}*e^{-x}\, dx= \begin{bmatrix}
-x^{n+1}*e^{-x}
\end{bmatrix} _{0}^{\infty}...[/mm]
(Anstatt der $...$ kommt noch ein Rechenzeichen und danach wieder ein Integral; so, wie es halt in der Formel bei der partiellen Integration steht. Bei diesem Integral (das auf der rechten Seite der Gleichung, also bei den $...$ steht) kannst du die Konstante $n+1$ dann vor das Integral ziehen und dann die Induktionsvoraussetzung anwenden!).
Hierbei gilt:
[mm]\begin{bmatrix}
-x^{n+1}*e^{-x}
\end{bmatrix} _{0}^{\infty}=0[/mm].
Überlege dir das bitte.
Wenn du nun alles, was Marc und ich dir hier geschrieben haben, auch genau befolgst, dann kommst du zum Ziel (Im Prinzip steht der Beweis nämlich jetzt vollständig hier, nur anstatt in Formeln habe ich mich entschlossen, dir einmal alles in Worten zu beschreiben. Der Sinn davon ist, dass ich dich dadurch dazu bringen will, das ganze formal hinzuschreiben, und dazu musst du über unsere Worte nachdenken. Der Lerneffekt ist, denke ich, höher für dich!).
Es könnte aber sein, dass dir der Induktionsschritt immer noch Probleme macht, deshalb guck dir unbedingt den Link zu den Induktionsbeweisen an und such am besten auch mal im Internet nach Aufgaben, Beispielen etc. zu Induktionsbeweisen. Wenn dir das nicht klar ist, wirst du den ganzen Beweis nicht verstehen!
Solltest du heute (ist ja schon nach 24.00 Uhr) dennoch nicht weiterkommen, so werde ich dir vermutlich den Beweis doch noch komplett formal aufschreiben.
Mir wäre es aber lieber, du bekämst das mit den Hinweisen hin. Denn dann kommt irgendwann der "Aha-Effekt" bei dir, da bin ich sicher!
Melde dich also bitte nochmal, ob das nun alles so funktioniert hat, oder ob irgendwas immer noch nicht klar ist (dann aber bitte genau sagen, was dir nicht klar ist!).
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
Viele Grüße
Marcel
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