Beweis: surjektive Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:12 Do 03.11.2005 | | Autor: | Kati |
Ich habe diese Frage noch in keinem Internetforum gestellt.
Hi!
Ich hab hier ein Problem mit einer Übungsaufgabe:
Sei f: A [mm] \to [/mm] B eine Abbildung
z. z. f ist surjektiv genau dann, wenn eine Abbildung s: B [mm] \to [/mm] A existiert mit f [mm] \circ [/mm] s = [mm] id_{B} [/mm]
Also erstmal ist mir nicht so ganz klar wieso s eine Abbildung ist. Wenn f surjektiv ist kann ja auch zu einem b [mm] \in [/mm] B mehrere a [mm] \in [/mm] A gehören. Also wäre doch dann s gar keine Abbildung oder, was aber irgendwie net sein kann...
Zur möglichen Lösung:
Ich muss doch erst annehmen dass f surjektiv ist und zeigen dass s eine Abbildung ist.
Dann ist doch zu zeigen, dass f [mm] \circ [/mm] s = [mm] id_{B} [/mm] gilt.
Und dann muss ich doch nochmal Vorraussetzen dass die Abbildung s existiert und f [mm] \circ [/mm] s = [mm] id_{B} [/mm] gilt und daraus zeigen dass f surjektiv ist, oder?
Also was ich machen muss glaube ich zu wissen. Nur ich weiß halt net wie.
Ich weiß noch, dass ich das "Auswahlaxiom der Mengenlehre" für die Lösung brauch, das folgendermaßen lautet:
Sind A, B Mengen und ist r: A [mm] \to P_{A} [/mm] \ { [mm] \emptyset [/mm] } eine Abbildung, dan existiert eine Abb. s: B [mm] \to [/mm] A mit s ( b ) [mm] \in [/mm] r ( b ) ( [mm] P_{A} [/mm] = Potenzmenge von A )
Ich könnte hier mal ganz dringend Hilfe gebrauchen, am besten mit einer richtigen Lösung!
Gruß Katrin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:43 Do 03.11.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo Katrin,
hier hast du offensichtlich ein ähnliches Problem wie bei der Injektivität.
> Also erstmal ist mir nicht so ganz klar wieso s eine
> Abbildung ist. Wenn f surjektiv ist kann ja auch zu einem b
> [mm]\in[/mm] B mehrere a [mm]\in[/mm] A gehören. Also wäre doch dann s gar
> keine Abbildung oder, was aber irgendwie net sein kann...
s ist nicht eine Umkehrung von f - die ist keine Abbildung !
>
> Zur möglichen Lösung:
>
> Ich muss doch erst annehmen dass f surjektiv ist und zeigen
> dass s eine Abbildung ist.
Nein, wenn f surjektiv ist, dann muss eine Abbildung s existieren, so dass die Gleichung gilt - dies geht am einfachsten indem du ein s angibst.
Schaffst du dies hier ?
> Und dann muss ich doch nochmal Vorraussetzen dass die
> Abbildung s existiert und f [mm]\circ[/mm] s = [mm]id_{B}[/mm] gilt und
> daraus zeigen dass f surjektiv ist, oder?
Genau, es gäbe solch eine Abbildung - angenommen f wäre nicht surjektiv, d.h. ... , daraus folgt ... also gilt die Gleichung nicht - Widerspruch
so in etwa sollte es aussehen.
versuch dich mal - wir können dann nochmal drüber schauen.
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:02 Fr 04.11.2005 | | Autor: | Kati |
Okay ich hab mich auch hieran mal versucht:
1) sei f surjektiv
z. z. es existiert eine Abbildung s: B [mm] \to [/mm] A mit f [mm] \circ [/mm] s = [mm] id_{B}
[/mm]
ich lege für s fest:
zu jedem b [mm] \in [/mm] B existiert ein festes a [mm] \in [/mm] A mit f (a) = b
z. z. es gilt f [mm] \circ [/mm] s = [mm] id_{B} [/mm] also f [mm] \circ [/mm] s (b) = [mm] id_{B} [/mm] (b) für b [mm] \in [/mm] B
sei b [mm] \in [/mm] B. Also s (b) = a und f (a) = b
Daraus folgt: f [mm] \circ [/mm] s (b) = f ( s (b) ) = f (a) = b = [mm] id_{B} [/mm] (b)
2) sei s: B [mm] \to [/mm] A eine Abbildung und gelte dafür f [mm] \circ [/mm] s = [mm] id_{B}
[/mm]
z. z. f ist surjektiv ( zu jed. b [mm] \in [/mm] B ex ein a [mm] \in [/mm] A mit b = f (a) )
sei b [mm] \in [/mm] B
weil s existiert kann man jedem b ein eindeutiges a [mm] \in [/mm] A zuordnen mit
a = s (b) oder ( b , a ) [mm] \in [/mm] s
nach Def. von s gilt auch f (a) = b , also ist f surjektiv
Ist das so okay?
Hier hab ich jetzt aber noch genau wie bei dem Beweis der injektiven Abbildung die Frage warum ich nicht auch zeigen muss, dass s eine Abbildung ist.
Außerdem musste ich doch das Auswahlaxiom irgendwo anwenden. Hab ich das vielleicht schon gemacht ohne es zu bemerken? Und wenn ja müsste ich das dann net irgendwie irgendwo erläutern, dass ich es angewendet habe?
Gruß Kati
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:40 Fr 04.11.2005 | | Autor: | taura |
Hallo Kati!
> 1) sei f surjektiv
> z. z. es existiert eine Abbildung s: B [mm]\to[/mm] A mit f
> [mm]\circ[/mm] s = [mm]id_{B}[/mm]
>
> ich lege für s fest:
> zu jedem b [mm]\in[/mm] B existiert ein festes a [mm]\in[/mm] A mit f
> (a) = b
Nein, das existiert ja grade nicht! Es kann ja eben sein, dass mehrere existieren!
Genau hier, brauchst du das Auswahlaxiom: Zu jedem b aus B wählst du genau ein $a [mm] \in f^{-1}(b)$ [/mm] (Urbild von b unter f, ist nicht leer, da f ja surjektiv ist) aus, das du b unter s zuordnest. (Das du das kannst besagt grade das Auswahlaxiom.)
Versuch mit dieser Funktion nochmal diese Richtung zu zeigen 
> 2) sei s: B [mm]\to[/mm] A eine Abbildung und gelte dafür f [mm]\circ[/mm] s
> = [mm]id_{B}[/mm]
> z. z. f ist surjektiv ( zu jed. b [mm]\in[/mm] B ex ein a [mm]\in[/mm] A
> mit b = f (a) )
>
> sei b [mm]\in[/mm] B
> weil s existiert kann man jedem b ein eindeutiges a
> [mm]\in[/mm] A zuordnen mit
> a = s (b) oder ( b , a ) [mm]\in[/mm] s
> nach Def. von s gilt auch f (a) = b , also ist f
> surjektiv
Nicht ganz, versuchs so: sei [mm] $b\in [/mm] B$, dann weiß ich: weil s existiert gilt: $f(s(b))=b$, das heißt, es existiert ein Element a aus A (nämlich s(b)) so dass f(a)=b, daraus folgt, f ist surjektiv.
> Hier hab ich jetzt aber noch genau wie bei dem Beweis der
> injektiven Abbildung die Frage warum ich nicht auch zeigen
> muss, dass s eine Abbildung ist.
Musst du auch hier wieder, geht aber auch recht schnell. Warum wird jedem Element aus B ein eindeutiges aus A zugeordnet?
Gruß taura
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 Fr 04.11.2005 | | Autor: | Kati |
Das ist mir jetzt irgendie nicht so ganz klar..
also ich sage dass für s gilt:
zu jedem b [mm] \in [/mm] B ex. ein a [mm] \in [/mm] A mit a [mm] \in f^{-1} [/mm] (b)
Aber [mm] f^{-1} [/mm] ist doch gar keine Abbildung, weil man doch hier einem b mehrere a ' s zuordnen kann....
Außerdem versteh ich jetzt auch garnet den Zusammenhang zu dem Auswahlaxiom...
Den 2. Beweisteil von dir hab ich wiederrum kapiert ...
Gruß kati
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Hallo Kati,
> Das ist mir jetzt irgendie nicht so ganz klar..
>
> also ich sage dass für s gilt:
> zu jedem b [mm]\in[/mm] B ex. ein a [mm]\in[/mm] A mit a [mm]\in f^{-1}[/mm] (b)
>
> Aber [mm]f^{-1}[/mm] ist doch gar keine Abbildung, weil man doch
> hier einem b mehrere a ' s zuordnen kann....
[mm] $f^{-1}$ [/mm] ist keine Abblidung, das stimmt. Mit [mm] $f^{-1}(b)$ [/mm] ist in diesem Zusammenhang die Menge aller $a [mm] \in [/mm] A$ gemeint, für die gilt f(a)=b. (Die Urbildmenge von b unter f) Diese Menge enthält für f surjektiv im Allgemeinen mehr als ein Element. (Nur wenn die Abbildung bijektiv ist, ist mit [mm] $f^{-1}$ [/mm] die Umkehrfunktion gemeint.)
> Außerdem versteh ich jetzt auch garnet den Zusammenhang zu
> dem Auswahlaxiom...
Wenn man aus dieser Menge nun ein Urbild herausfischen will, benötigt man das Auswahlaxiom. Dieses stellt sicher, dass man aus jeder (nichtleeren) Menge ein Element auswählen kann.
(Kann man nicht auch so immer ein Element aus einer Menge herausfischen? Nein, dazu bräuchte man eine Auswahlvorschrift, die für alle Mengen greift. Das ist aber nicht möglich.)
Liebe Grüße,
Holy Diver
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Fr 04.11.2005 | | Autor: | Kati |
Okay... das wär jetzt meine neue Lösung.
1) sei f surjektiv
Ich lege für s fest:
zu jedem b [mm] \in [/mm] B wähle ich genau ein a [mm] \in f^{-1} [/mm] (b)
( [mm] f^{-1} [/mm] (b) ist nicht leer, da f surjektiv ist, kann aber auch mehrere
Elemente enthalten. Das Auswahlaxiom besagt, dass ich genau ein a
aus dieser Urbildmene auswählen und es s zuornen kann)
a) z. z. s ist eine Abbildung
i) z. z. dass zu jedem b [mm] \in [/mm] B ein a [mm] \in [/mm] A mit ( b,a ) [mm] \in [/mm] s existiert
- Nach der Definition von s gilt dies, da ich zu jedem b genau
ein a wähle
ii) z. z. das für alle ( b,a ) [mm] \in [/mm] s und für alle ( b',a' ) [mm] \in [/mm] s mit
b = b' gilt: a = a'
- Nach Definition von s gilt:
a = s (b)
Wenn nun b = b' ist gilt s (b) = s (b') = a'
also a = a'
2) sei s: B [mm] \to [/mm] A eine Abbildung und gelte dafür f [mm] \circ [/mm] s = [mm] id_{B}
[/mm]
z. z.: f ist surjektiv
sei b [mm] \in [/mm] B
weil s existiert gilt: f ( s (b) ) = b , das heißt es exisiter ein
a [mm] \in [/mm] A (nämlich s (b) ) so dass f (a) = b
Daraus folgt, f ist surjektiv
Ist das jetzt so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Fr 04.11.2005 | | Autor: | taura |
Hallo Kati!
> 1) sei f surjektiv
> Ich lege für s fest:
> zu jedem b [mm]\in[/mm] B wähle ich genau ein a [mm]\in f^{-1}[/mm] (b)
> ( [mm]f^{-1}[/mm] (b) ist nicht leer, da f surjektiv ist, kann aber
> auch mehrere
> Elemente enthalten. Das Auswahlaxiom besagt, dass ich
> genau ein a
> aus dieser Urbildmene auswählen und es s zuornen kann)
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> a) z. z. s ist eine Abbildung
> i) z. z. dass zu jedem b [mm]\in[/mm] B ein a [mm]\in[/mm] A mit (
> b,a ) [mm]\in[/mm] s existiert
> - Nach der Definition von s gilt dies, da ich
> zu jedem b genau
> ein a wähle
Ja, und das kannst du wegen der Surjektivität, denn deshalb gibt es zu jedem b eine Urbildmenge.
> ii) z. z. das für alle ( b,a ) [mm]\in[/mm] s und für alle
> ( b',a' ) [mm]\in[/mm] s mit
> b = b' gilt: a = a'
> - Nach Definition von s gilt:
> a = s (b)
> Wenn nun b = b' ist gilt s (b) = s (b') =
> a'
> also a = a'
Hm, das gilt wiederum wegen des Auswahlaxioms...
Im Prinzip reichen die beiden Sätze oben in der Klammer vollkommen aus, für die Begründung warum s eine Abbildung ist 
So hier fehlt jetzt aber noch das, was du dann wahrscheinlich mit (b) bezeichnet hast und vergessen hast, hier aufzuschreiben Nämlich, dass für dieses s auch wirklich gilt: $f [mm] \circ [/mm] s = [mm] id_B$
[/mm]
> 2) sei s: B [mm]\to[/mm] A eine Abbildung und gelte dafür f [mm]\circ[/mm] s
> = [mm]id_{B}[/mm]
> z. z.: f ist surjektiv
> sei b [mm]\in[/mm] B
> weil s existiert gilt: f ( s (b) ) = b , das heißt es
> exisiter ein
> a [mm]\in[/mm] A (nämlich s (b) ) so dass f (a) = b
> Daraus folgt, f ist surjektiv
Gruß taura
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