Beweis trigonalisierbare < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:34 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Nadia.. |
| Aufgabe | Seien K ein Körper, $n [mm] \in \mathbb{N} [/mm] A [mm] \in M_n(K) [/mm] $ eine trigonalisierbare Matrix und $p [mm] \in [/mm] K[X]$
Man beweise, dass p(A) trigonalisierbar ist. Was ist die Beziehung zwischen SpecA und
Spec p(A)? |
Ich komme hier nicht weiter und würde mich auf jede Hilfe freuen.
Was ich eigentlich hier zeigen soll, ist das $p(A)$ in Linearfaktoren zerfällt.
Angenommen ist $p = [mm] (x-\delta)^n$
[/mm]
dann ist $p(a)= [mm] A-\delta [/mm] X$,dann ist doch [mm] $X_{p(A)}= ((x-\delta)-\delta_1)^n [/mm] = [mm] (x-\delta-\delta_1)^n =(x-(\delta+\delta_1))^n [/mm] $,also zwerfällt [mm] $X_p(A)$ [/mm] auch in Linearfaktoren, somit ist auch´trigonalisierbar .
Viele Grüße
Nadia...
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> Seien K ein Körper, [mm]n \in \mathbb{N} A \in M_n(K)[/mm] eine
> trigonalisierbare Matrix und [mm]p \in K[X][/mm]
> Man beweise, dass
> p(A) trigonalisierbar ist. Was ist die Beziehung zwischen
> SpecA und
> Spec p(A)?
> Ich komme hier nicht weiter und würde mich auf jede Hilfe
> freuen.
> Was ich eigentlich hier zeigen soll, ist das [mm]p(A)[/mm] in
> Linearfaktoren zerfällt.
Hallo,
was Du hier sagst, ist Quatsch:
p(A) ist doch eine Matrix, und was soll das bedeuten, wenn eine Matrix in Linearfaktoren zerfällt?
> Angenommen ist [mm]p = (x-\delta)^n[/mm]
> dann ist [mm]p(A)= A-\delta X[/mm],dann
Blödsinn! Dann ist [mm] p(A)=(A-\deltaE)^n.
[/mm]
Ich glaube, wir sollten zunächst einmal die Aufgabenstellung klären.
Ich mache das an einem Beispiel:
Wir nehmen [mm] K=\IR.
[/mm]
Die Matrix [mm] \pmat{3&0&0\\0&4&1\\0&0&4} [/mm] ist trigonalisierbar. (Es ist ja schon eine Dreiecksmatrix).
Es ist p(x):= [mm] x^2 [/mm] + 6x+ 5 ein reelles Polynom.
Die Behauptung lautet nun:
Das Polynom [mm] p(A)=A^2+6A+5E=\pmat{3&0&0\\0&4&1\\0&0&4}^2+6*\pmat{3&0&0\\0&4&1\\0&0&4}+\pmat{5&0&0\\0&5&0\\0&0&5}=...
[/mm]
ist trigonalisierbar.
Vielleicht prüfst Du erstmal an diesem Beispiel, ob die Behauptung stimmt.
Erst, wenn Du verstanden hast, worum es in der Aufgabe geht, macht ja ein Beweisversuch Sinn.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Do 12.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo Angela,
ich mache grad dieselbe Aufgabe.
> Ich glaube, wir sollten zunächst einmal die
> Aufgabenstellung klären.
>
> Ich mache das an einem Beispiel:
>
>
> Wir nehmen [mm]K=\IR.[/mm]
> Die Matrix [mm]\pmat{3&0&0\\0&4&1\\0&0&4}[/mm] ist
> trigonalisierbar. (Es ist ja schon eine Dreiecksmatrix).
>
> Es ist p(x):= [mm]x^2[/mm] + 6x+ 5 ein reelles Polynom.
>
> Die Behauptung lautet nun:
>
> Das Polynom
> [mm]p(A)=A^2+6A+5E=\pmat{3&0&0\\0&4&1\\0&0&4}^2+6*\pmat{3&0&0\\0&4&1\\0&0&4}+\pmat{5&0&0\\0&5&0\\0&0&5}=...[/mm]
>
> ist trigonalisierbar.
>
> Vielleicht prüfst Du erstmal an diesem Beispiel, ob die
> Behauptung stimmt.
Ich hab es mal überprüft und die Behauptung stimmt.Die Eigenewerte von deiner angegebenen Matrix A sind 3,4 und nochmal 4. Die Eigenwerte von p(A) sind 32,45,45. Aber ich muss sagen, eine wirklich "Beziehung" erkenne ich nicht zwischen den beiden, außer dass die Anzahl der Eigenwerte gleich ist.
Zum Beweis: Angenommen A ist trigonalisierbar. Dann zerfällt das charakt. Polynom von A in Linearfaktoren, d.h. A hat Eigenwerte. Und man weiß noch, dass A eine Jordansche Normalform besitzt. Aber wieso jetzt p(A) trigonalisierbar ist, weiß ich nicht.
Hast du vielleicht einen Tipp, wie ich vorgehen kann?
Vielen Dank
lg
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> > Wir nehmen [mm]K=\IR.[/mm]
> > Die Matrix [mm]\pmat{3&0&0\\
0&4&1\\
0&0&4}[/mm] ist
> > trigonalisierbar. (Es ist ja schon eine Dreiecksmatrix).
> >
> > Es ist p(x):= [mm]x^2[/mm] + 6x+ 5 ein reelles Polynom.
> >
> > Die Behauptung lautet nun:
> >
> > Das Polynom
> >
> [mm]p(A)=A^2+6A+5E=\pmat{3&0&0\\
0&4&1\\
0&0&4}^2+6*\pmat{3&0&0\\
0&4&1\\
0&0&4}+\pmat{5&0&0\\
0&5&0\\
0&0&5}=...[/mm]
> >
> > ist trigonalisierbar.
> >
> > Vielleicht prüfst Du erstmal an diesem Beispiel, ob die
> > Behauptung stimmt.
>
> Ich hab es mal überprüft und die Behauptung stimmt.Die
> Eigenewerte von deiner angegebenen Matrix A sind 3,4 und
> nochmal 4. Die Eigenwerte von p(A) sind 32,45,45. Aber ich
> muss sagen, eine wirklich "Beziehung" erkenne ich nicht
> zwischen den beiden, außer dass die Anzahl der Eigenwerte
> gleich ist.
Hallo,
das ist mager...
Ich mein, wenn schon so gefragt wird, werden sie ja irgendwas mit der Aufgabenstellung zu tun haben.
Wo könnte man sie denn mal völlig unverbindlich zur Probe einsetzen?
Ansonsten: hast Du was über die Eigenvektoren rausgefunden?
>
> Zum Beweis: Angenommen A ist trigonalisierbar. Dann
> zerfällt das charakt. Polynom von A in Linearfaktoren,
> d.h. A hat Eigenwerte.
Ja. n nicht notwendigerweise verschiedene.
> Und man weiß noch, dass A eine
> Jordansche Normalform besitzt.
Aha. Also gibt es eine Matrix T mit [mm] A=T^{-1}JT.
[/mm]
> Aber wieso jetzt p(A)
> trigonalisierbar ist, weiß ich nicht.
> Hast du vielleicht einen Tipp, wie ich vorgehen kann?
Ja. Und den habe ich jetzt gegeben.
Gruß v. Angela
>
> Vielen Dank
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:22 Sa 14.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
> das ist mager...
>
> Ich mein, wenn schon so gefragt wird, werden sie ja
> irgendwas mit der Aufgabenstellung zu tun haben.
> Wo könnte man sie denn mal völlig unverbindlich zur
> Probe einsetzen?
>
> Ansonsten: hast Du was über die Eigenvektoren
> rausgefunden?
Ja,ich hab jetzt folgendes herausgefunden:
Setzt man die Eigenwerte von A in p(x) ein,so kommen die Eigenwerte von p(A) heraus.Die Anzahl der Eigenwerte von A und p(A) ist gleich und die Eigenvektoren von beiden sind ebenfalls gleich.
> >
> > Zum Beweis: Angenommen A ist trigonalisierbar. Dann
> > zerfällt das charakt. Polynom von A in Linearfaktoren,
> > d.h. A hat Eigenwerte.
>
> Ja. n nicht notwendigerweise verschiedene.
>
>
> > Und man weiß noch, dass A eine
> > Jordansche Normalform besitzt.
>
> Aha. Also gibt es eine Matrix T mit [mm]A=T^{-1}JT.[/mm]
Ich kenne das eher so: Es gibt eine Matrix Q,die invertierbar ist,sodass [mm] Q^{-1}*A*Q [/mm] aus Jordan-Blöcken besteht.
Jetzt setze ich A in ein Polynom ein und betrachte 3 Fälle:
1.A wird mit einer Zahl potenziert: [mm] A^{n}, [/mm] in unserem Beispiel quadriert.
2. A wird mit einer Zahl multipliziert: A*X. Das ändert nichts an der Trigonalisierbarkeit von A, es wird alles lediglich mit einem Faktor multipliziert.
3. Man addiert ein Zahl hinzu: A+X: Das ändert ebenfalls nichts, denn A hat immer noch die gleiche Form, nur die Einträge ändern sich.
Aber das ist so schwammig und kein richtiger Beweis.
Wenn nun p(A) trigonaliserbar sein soll,dann muss es eine invertierbare Matrix P geben,sodass [mm] P^{-1}*p(A)*P [/mm] aus Jordan-Blöcken besteht und das char.Pol. von p(A) muss in Linearfaktoren zerfallen.
Ich weiß im Moment echt nicht,wie ich weitermachen soll.
Vielen Dank
lg
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> > Ansonsten: hast Du was über die Eigenvektoren
> > rausgefunden?
>
> Ja,ich hab jetzt folgendes herausgefunden:
> Setzt man die Eigenwerte von A in p(x) ein,so kommen die
> Eigenwerte von p(A) heraus.Die Anzahl der Eigenwerte von A
> und p(A) ist gleich und die Eigenvektoren von beiden sind
> ebenfalls gleich.
Hallo,
falls Du es bisher nur am Beispiel herausgefunden hast, solltest Du versuchen, dies allgemein zu beweisen.
> > > Und man weiß noch, dass A eine
> > > Jordansche Normalform besitzt.
> >
> > Aha. Also gibt es eine Matrix T mit [mm]A=T^{-1}JT.[/mm]
>
> Ich kenne das eher so: Es gibt eine Matrix Q,die
> invertierbar ist,sodass [mm]Q^{-1}*A*Q[/mm] aus Jordan-Blöcken
> besteht.
Ja mei! Mein J ist natürlich eine Jordanmatrix, also eine Matrix, die aus Jordanblöcken besteht. Ich dachte, das würde sich selbstredend verstehen...
Was ist denn nun anders bei Dir? Ich sehe nichts Ernsthaftes...
Sind wir uns einig, daß Jordanmatrizen Diagonalmatrizen sind?
Tips: Produkte von Diagonalmatrizen? Summen von Diagonalmatrizen?
> Jetzt setze ich A in ein Polynom ein
Sei [mm] p(x)=\summe_{i=0}^na_ix^i.
[/mm]
Dann ist [mm] p(A)=p(T^{-1}JT)= [/mm] ... = ...= ... = [mm] T^{-1}*(...)*T.
[/mm]
Nun schau mal die Klammer an und überleg, ob es eine Dreiecksmatrix ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 So 15.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
> > > Aha. Also gibt es eine Matrix T mit [mm]A=T^{-1}JT.[/mm]
> >
> > Ich kenne das eher so: Es gibt eine Matrix Q,die
> > invertierbar ist,sodass [mm]Q^{-1}*A*Q[/mm] aus Jordan-Blöcken
> > besteht.
>
> Ja mei! Mein J ist natürlich eine Jordanmatrix, also eine
> Matrix, die aus Jordanblöcken besteht. Ich dachte, das
> würde sich selbstredend verstehen...
Ja,das war schon klar, dass J eine Jordanmatrix ist. Aber
> Was ist denn nun anders bei Dir? Ich sehe nichts
> Ernsthaftes...
ich verstehs grad irgendwie nicht. Das,was du geschrieben hast, [mm] A=T^{-1}*J*T [/mm] ist doch was anderes als wenn ich sage, dass [mm] J=Q^{-1}*A*Q. [/mm] Wieso ist es das gleiche?
>
> Sind wir uns einig, daß Jordanmatrizen Diagonalmatrizen
> sind?
Ja, das auf jeden Fall.
> Tips: Produkte von Diagonalmatrizen? Summen von
> Diagonalmatrizen?
Das Produkt von Diagonalmatrizen ist wieder eine Diagonalmatrix und das gleiche gilt für die Summe.
>
>
> > Jetzt setze ich A in ein Polynom ein
>
> Sei [mm]p(x)=\summe_{i=0}^na_ix^i.[/mm]
>
> Dann ist [mm]p(A)=p(T^{-1}JT)=[/mm] ... = ...= ... =
> [mm]T^{-1}*(...)*T.[/mm]
>
> Nun schau mal die Klammer an und überleg, ob es eine
> Dreiecksmatrix ist.
Wieso steht denn am Ende [mm] T^{-1}*(...)*T, [/mm] also wieso stehen die T's alleine da ohne [mm] P(T^{-1} [/mm] *AT)? In der Klammer müsste dann theoretisch p(J) stehen und das Produkt bzw. die Summe von Diagonalmatrizen ist wieder eine Diagonalmatrix. Das heißt P(J) ist eine Diagonalmatrix und wenn ich das dann von links und rechts mit einer Matrix multipliziere, dann muss es nicht eine Dreiecksmatrix sein. Wie kommst du auf die Dreiecksmatrix?
Vielen Dank
lg
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> ich verstehs grad irgendwie nicht. Das,was du geschrieben
> hast, [mm]A=T^{-1}*J*T[/mm] ist doch was anderes als wenn ich sage,
> dass [mm]J=Q^{-1}*A*Q.[/mm] Wieso ist es das gleiche?
Hallo,
es ist [mm] $A=T^{-1}*J*T$ [/mm] <==> [mm] TAT^{-1}=J, [/mm] und [mm] T:=Q^{-1} [/mm] sind wir uns völlig einig. Wie ich die Matrizen nenne, ist doch völlig wurscht.
> Das Produkt von Diagonalmatrizen ist wieder eine
> Diagonalmatrix und das gleiche gilt für die Summe.
Genau.
> >
> >
> > > Jetzt setze ich A in ein Polynom ein
> >
> > Sei [mm]p(x)=\summe_{i=0}^na_ix^i.[/mm]
> >
> > Dann ist [mm]p(A)=p(T^{-1}JT)=[/mm] ... = ...= ... =
> > [mm]T^{-1}*(...)*T.[/mm]
> >
> > Nun schau mal die Klammer an und überleg, ob es eine
> > Dreiecksmatrix ist.
>
> Wieso steht denn am Ende [mm]T^{-1}*(...)*T,[/mm] also wieso stehen
> die T's alleine da ohne [mm]P(T^{-1}[/mm] *AT)?
Darüber könnten wir uns entschieden besser unterhalten, wenn Du mal vorrechnest, was passiert, wenn Du einsetzt.
> In der Klammer
> müsste dann theoretisch p(J)
Ja.
> stehen und das Produkt bzw.
> die Summe von Diagonalmatrizen ist wieder eine
> Diagonalmatrix. Das heißt P(J) ist eine Diagonalmatrix
Genau.
> und
> wenn ich das dann von links und rechts mit einer Matrix
> multipliziere, dann muss es nicht eine Dreiecksmatrix sein.
Moment! Du sollst zeigen, daß p(A) trigonalisierbar ist.
Was bedeutet das? Es bedeutet, daß es eine Basis gibt, bzgl welcher p(A) eine Dreiecksmatrix ist, daß es eine invertierbare Matrix S gibt mit
[mm] S^{-1}p(A)S= [/mm] Dreiecksmatrix.
Gruß v. Angela
> Wie kommst du auf die Dreiecksmatrix?
>
> Vielen Dank
> lg
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 So 15.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> es ist [mm]A=T^{-1}*J*T[/mm] <==> [mm]TAT^{-1}=J,[/mm] und [mm]T:=Q^{-1}[/mm] sind wir
> uns völlig einig. Wie ich die Matrizen nenne, ist doch
> völlig wurscht.
Achso, jetzt hab ichs.Danke.
> > > Dann ist [mm]p(A)=p(T^{-1}JT)=[/mm] ... = ...= ... =
> > > [mm]T^{-1}*(...)*T.[/mm]
> > >
> > > Nun schau mal die Klammer an und überleg, ob es eine
> > > Dreiecksmatrix ist.
> >
> > Wieso steht denn am Ende [mm]T^{-1}*(...)*T,[/mm] also wieso stehen
> > die T's alleine da ohne [mm]P(T^{-1}[/mm] *AT)?
>
> Darüber könnten wir uns entschieden besser unterhalten,
> wenn Du mal vorrechnest, was passiert, wenn Du einsetzt.
Ich setze ein:
[mm] P(A)=p(T^{-1}*J*T)=\summe_{i=0}^{n} a_{i}*x^{i}=a_{1}*(T^{-1}*J*T)+a_{2}*(T^{-1}*J*T)^{2}+...+a_{n}*(T^{-1}*J*T)^{n}.
[/mm]
Kann man jetzt einfach das T und das [mm] T^{-1} [/mm] quasi ausklammern und hat dann [mm] T^{-1}*p(J)*T?
[/mm]
> > In der Klammer
> > müsste dann theoretisch p(J)
>
> Ja.
>
>
> > stehen und das Produkt bzw.
> > die Summe von Diagonalmatrizen ist wieder eine
> > Diagonalmatrix. Das heißt P(J) ist eine Diagonalmatrix
>
> Genau.
>
>
> > und
> > wenn ich das dann von links und rechts mit einer Matrix
> > multipliziere, dann muss es nicht eine Dreiecksmatrix sein.
>
> Moment! Du sollst zeigen, daß p(A) trigonalisierbar ist.
> Was bedeutet das? Es bedeutet, daß es eine Basis gibt,
> bzgl welcher p(A) eine Dreiecksmatrix ist, daß es eine
> invertierbare Matrix S gibt mit
>
> [mm]S^{-1}p(A)S=[/mm] Dreiecksmatrix.
Ok. Ich weiß schonmal, dass A trigonalisierbar ist und dass p(J) eine Diagonalmatrix ist. Zu zeigen ist also, dass [mm] S^{-1}*T^{-1}*p(J)*T*S [/mm] Dreiecksmatrix ist.
Da A trigonalisierbar ist, gibt es eine solche Basis,sodass A Dreiecksgestalt hat. Und wenn man zwei Dreiecksmatrizen miteinander multipliziert kommt wieder eine Dreiecksmatrix raus, ebenfalls so bei der Addition. Und irgendwie muss jetzt auch [mm] p(A)=T^{-1}*p(J)*T [/mm] eine Dreiecksmatrix sein. Es ist doch dann [mm] A=T^{-1}*J*T [/mm] eine dreiecksmatrix und J eine Diagonalmatrix.
Kann man das so begründen: Da p(J) ebenfalls Diagonalmatrix ist, und [mm] T^{-1} [/mm] und T so bleiben, ist auch [mm] p(A)=T^{-1}*p(J)*T [/mm] Dreiecksmatrix und somit p(A) trigonalisierbar?
Vielen Dank
lg
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> Ich setze ein:
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> [mm]P(A)=p(T^{-1}*J*T)=\summe_{i=0}^{n} a_{i}*x^{i}=a_{1}*(T^{-1}*J*T)+a_{2}*(T^{-1}*J*T)^{2}+...+a_{n}*(T^{-1}*J*T)^{n}.[/mm]
Hallo,
Du unterschlägst den Summanden mit dem Index i=0.
>
> Kann man jetzt einfach das T und das [mm]T^{-1}[/mm] quasi
> ausklammern und hat dann [mm]T^{-1}*p(J)*T?[/mm]
Ja.
Du hast dann [mm] p(A)=$T^{-1}*p(J)*T$
[/mm]
> > > Das heißt P(J) ist eine Diagonalmatrix
Ach Quatsch! Eine Dreiecksmatrix ist es. Hatte ich vorher übersehen, aber ich glaube, Du meintest auch "Dreiecksmatrix".
Damit bist Du doch fertig: Es ist [mm] Tp(A)T^{-1}=p(J), [/mm] also eine Dreiecksmatrix.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:22 So 15.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> Du hast dann p(A)=[mm]T^{-1}*p(J)*T[/mm]
>
> > > > Das heißt P(J) ist eine Diagonalmatrix
>
> Ach Quatsch! Eine Dreiecksmatrix ist es. Hatte ich vorher
> übersehen, aber ich glaube, Du meintest auch
> "Dreiecksmatrix".
Naja, Quatsch ist es nicht oder? Denn P(J) ist doch eine Diagonalmatrix, aber da jede Diagonalmatrix auch Dreiecksmatrix ist, ist P(J) auch Dreiecksmatrix. Richtig?
>
> Damit bist Du doch fertig: Es ist [mm]Tp(A)T^{-1}=p(J),[/mm] also
> eine Dreiecksmatrix.
Ja stimmt. Vielen lieben Dank nochmal für deine Hilfe =).
lg
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> > Du hast dann p(A)=[mm]T^{-1}*p(J)*T[/mm]
> >
> > > > > Das heißt P(J) ist eine Diagonalmatrix
> >
> > Ach Quatsch! Eine Dreiecksmatrix ist es. Hatte ich vorher
> > übersehen, aber ich glaube, Du meintest auch
> > "Dreiecksmatrix".
>
> Naja, Quatsch ist es nicht oder? Denn P(J) ist doch eine
> Diagonalmatrix,
Nein! J ist eine JNF, also keinesfalls zwangsläufig eine Diagonalmatrix.
Aber eine Dreiecksmatrix.
Gruß v. Angela
> aber da jede Diagonalmatrix auch
> Dreiecksmatrix ist, ist P(J) auch Dreiecksmatrix. Richtig?
> >
> > Damit bist Du doch fertig: Es ist [mm]Tp(A)T^{-1}=p(J),[/mm] also
> > eine Dreiecksmatrix.
>
> Ja stimmt. Vielen lieben Dank nochmal für deine Hilfe =).
>
> lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:30 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
>
> >
> > > Du hast dann p(A)=[mm]T^{-1}*p(J)*T[/mm]
> > >
> > > > > > Das heißt P(J) ist eine Diagonalmatrix
> > >
> > > Ach Quatsch! Eine Dreiecksmatrix ist es. Hatte ich vorher
> > > übersehen, aber ich glaube, Du meintest auch
> > > "Dreiecksmatrix".
> >
> > Naja, Quatsch ist es nicht oder? Denn P(J) ist doch eine
> > Diagonalmatrix,
>
> Nein! J ist eine JNF, also keinesfalls zwangsläufig eine
> Diagonalmatrix.
> Aber eine Dreiecksmatrix.
Ja hast recht. Die JNF kann eine Diagonalmatrix sein, muss aber nicht.
Ok,alles gut.
lg
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 So 15.05.2011 | | Autor: | watumba |
| Aufgabe | | (Aufgabenstellung wie oben) |
Ist hier tatsächlich p(A) derart zu bilden, dass man A in das charakteristische Polynom von A einsetzt?
Heißt es nicht "Sei A eine trigonalisierbare Matrix und p [mm] \in [/mm] K[X]", also p beliebig, sodass
p(A) = [mm] A^{p_{(n-1)}} [/mm] + [mm] A^{p_{(n-2)}}*a_{n-2} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] A^{p_{1}}*a_{1} [/mm] + [mm] a_{0},
[/mm]
wobei [mm] a_{i} \in [/mm] K und [mm] p_{i} \in \IN [/mm] ?
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> (Aufgabenstellung wie oben)
>
> Ist hier tatsächlich p(A) derart zu bilden, dass man A in
> das charakteristische Polynom von A einsetzt?
Hallo,
nein. Es steht nichts davon in der Aufgabe, daß p das charakteristische Polynom von A ist.
Was kommt übrigens raus, wenn man A in sein charakteristische Polynom einsetzt?
> Heißt es nicht "Sei A eine trigonalisierbare Matrix und p
> [mm]\in[/mm] K[X]", also p beliebig,
Ja.
> sodass
> p(A) = [mm]A^{p_{(n-1)}}[/mm] + [mm]A^{p_{(n-2)}}*a_{n-2}[/mm] + [mm]\ldots[/mm] +
> [mm]A^{p_{1}}*a_{1}[/mm] + [mm]a_{0},[/mm]
> wobei [mm]a_{i} \in[/mm] K und [mm]p_{i} \in \IN[/mm] ?
Fast.
Wenn man A in [mm] p(x):=\summe_{i=0}^{n}a_ix^i [/mm] einsetzt, bekommt man [mm] p(A)=\summe_{i=0}^{n}a_iA^i=a_nA^n+...+a_1A+a_0E.
[/mm]
Gruß v. Angela
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