Beweis u. Widerlegung e. Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:28 Di 30.11.2010 | | Autor: | BennX |
| Aufgabe | Seien [mm] (a_{n}), (b_{n}) [/mm] Folgen in [mm] \IR. [/mm] Beweise oder widerlege:
(a) [mm] a_{n}\to [/mm] a, [mm] b_{n}\to [/mm] b, [mm] a_{n}
(b) [mm] a_{n}\to [/mm] 0, [mm] (b_{n}) [/mm] beschränkt [mm] \Rightarrow a_{n}*b_{n}\to [/mm] 0 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich komme momentan zu keinem ansatz und habe leider auch keine Idee wie ich dieses beweisen kann.
Ich würde mich freuen wenn ihr mir helfen könntet.
Ich bedanke mich im Voraus dafür.
Mit freundlichen grüßen
Ben
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Hallo BennX, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Wir arbeiten hier anders. Wenn Du schon keine Idee hast, dann gehen wir immer noch davon aus, dass Du eine Eigenleistung erbringst. Wie ist denn z.B. die Beschränktheit einer Folge definiert, wie ihr Grenzwert?
Damit Du ein Ziel beim Nachdenken hast, hier mal die Lösungen vorab. Auf die kommt es ja nicht so sehr an, schließlich sollst Du entweder beweisen oder widerlegen!
a) ist falsch.
b) ist richtig.
Wie würdest Du z.B. ein Gegenbeispiel zu a) suchen? Was müsste es erfüllen? Ist hier auch a>b möglich, oder "nur" a=b?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Di 30.11.2010 | | Autor: | BennX |
Danke dir schonmal dafür. Selbstverständlich will ich nicht das mir hier einer die lösung aufschreibt das ist nicht Ziel des ganzen. Aber ich stehe momentan total auf dem Schlauch und kriege einfach keinen ansatzt zusammen.
[mm] a_{n}\to [/mm] a dann gibt es ein [mm] N\in\IN [/mm] sodass [mm] |a_{n}-a|<1 [/mm] für alle [mm] n\ge [/mm] N.
So ist die beschränktheit definiert.
Aber ich komme einfach nicht auf den ansatzt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:00 Di 30.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Danke dir schonmal dafür. Selbstverständlich will ich
> nicht das mir hier einer die lösung aufschreibt das ist
> nicht Ziel des ganzen. Aber ich stehe momentan total auf
> dem Schlauch und kriege einfach keinen ansatzt zusammen.
>
> [mm]a_{n}\to[/mm] a dann gibt es ein [mm]N\in\IN[/mm] sodass [mm]|a_{n}-a|<1[/mm] für
> alle [mm]n\ge[/mm] N.
>
> So ist die beschränktheit definiert.
Nein. Schau nochmal nach !
Tipp zu (a): [mm] a_n=0, b_n=1/n
[/mm]
FRED
> Aber ich komme einfach nicht auf den ansatzt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:12 Di 30.11.2010 | | Autor: | BennX |
Die Beschränktheit einer Folge ist per definition aus meinem Skript:
[mm] \exists K\in \IR \forall x\in M:x\le [/mm] K
In diesem fall ist es die kleinste obere "Schranke".
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:16 Di 30.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Die Beschränktheit einer Folge ist per definition aus
> meinem Skript:
> [mm]\exists K\in \IR \forall x\in M:x\le[/mm] K
Wo ist da eine Folge ?
Von einer unteren Schranke śehe ich nichts
> In diesem fall ist es die kleinste obere "Schranke".
Wenn Du obiges K meinst, so muß das nicht die kleinste obere "Schranke"
sein
FRED
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Di 30.11.2010 | | Autor: | BennX |
Ich seh schon ich steige durch mein eigenes Skript nichtmehr durch was nicht besonders gut ist.
In dem fall der Aufgabe konvergiert [mm] a_{n} [/mm] gegen a das heißt das ja für mich das wenn ich die Summe von k=0 bis n der Folge bilde erhalte ich a.
daraus lässt sich schließen das wenn [mm] a_{n}=0 [/mm] ist wie du es als Tipp gesagt hast das a=0 ist. Im fall von [mm] b_{n}=\summe_{k=0}^{n}1/n [/mm] konvergiert diese Folge ja nun gegen 0. Da der [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}1/n=0 [/mm] ist.
Habe ich das richtig verstanden?
Somit wäre a<b nicht korrekt wenn [mm] a_{n}=0 [/mm] und [mm] b_{n}=1/n
[/mm]
Darf man dies nun so als Beweis anführen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Di 30.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo BennX!
Eine Bitte vorneweg: stelle rückfragen auch als "Fragen" und nicht nur als "Mitteilung".
> Im fall von [mm]b_{n}=\summe_{k=0}^{n}1/n[/mm] konvergiert diese Folge ja nun
> gegen 0. Da der [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}1/n=0[/mm] ist.
Huch, was für ein Quatsch. Das stimmt nicht. Die hamronische Reihe divergiert bekanntermaßen.
> Somit wäre a<b nicht korrekt wenn [mm]a_{n}=0[/mm] und [mm]b_{n}=1/n[/mm]
> Darf man dies nun so als Beweis anführen?
Ja, das reicht aus. Um die Allgemeingültigkeit einer Aussage zu widerlegen, reicht ein einziges Gegenbeispiel.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Di 30.11.2010 | | Autor: | BennX |
Ich meinte auch divergent habe aber konvergiert geschrieben.
Danke dir für die Hilfe.
Bei b müsste demnach aussreichen zu sagen das wenn [mm] a_{n}\to [/mm] 0 geht muss auch [mm] a_{n}*b_{n}\to [/mm] 0 gehen da die 0 das neutrale Element der Multiolikation ist und demnach egal welchen wert b nun annimmt es immer 0 als ergebniss herauskommt.
Richtig?
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Guten Abend,
das stimmt so nicht.
> Bei b müsste demnach aussreichen zu sagen das wenn
> [mm]a_{n}\to[/mm] 0 geht muss auch [mm]a_{n}*b_{n}\to[/mm] 0 gehen da die 0
> das neutrale Element der Multiolikation ist und demnach
> egal welchen wert b nun annimmt es immer 0 als ergebniss
> herauskommt.
>
> Richtig?
Wenn a=0 der Grenzwert von [mm] a_n [/mm] ist, dann ist [mm] a*b_n=0.
[/mm]
Allerdings muss ja [mm] a_n [/mm] nie Null werden (und wird es normalerweise auch nicht), wie z.B. bei [mm] a_n=\tfrac{1}{n}
[/mm]
Deine Begründung stimmt also nicht. Es ist keineswegs egal, welchen Wert [mm] b_n [/mm] annimmt, nimm z.B. [mm] b_n=n^2 [/mm] hinzu. Allerdings erfüllt diese Folge eine wesentliche Bedingung nicht: sie ist nicht beschränkt.
Das musst Du noch verwursten. Insofern stimmt Dein Gedanke an sich schon, aber die Ausführung ist nicht präzise genug.
Kannst Du vielleicht zeigen, dass, sofern beide Grenzwerte existieren (also [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] beschränkt sind), folgendes gilt:
[mm] \limes_{n\to\infty}(a_n*b_n)=(\limes_{n\to\infty}a_n)*(\limes_{n\to\infty}b_n)
[/mm]
Das wäre weiter reichend und würde Deinen Fall ja mit einschließen.
Es ist aber für die Aufgabe nicht nötig, so vorzugehen. Die Beschränktheit von [mm] b_n [/mm] genügt, um jetzt zur Lösung zu kommen.
Grüße
reverend
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> Kannst Du vielleicht zeigen, dass, sofern beide Grenzwerte
> existieren (also [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm] beschränkt sind), folgendes
> gilt:
>
> [mm]\limes_{n\to\infty}(a_n*b_n)=(\limes_{n\to\infty}a_n)*(\limes_{n\to\infty}b_n)[/mm]
Aber ist es nicht so, dass beschränkte Folgen nicht konvergieren müssen, insofern auch kein Grenzwert existiert? Beispiel:
[mm](-1)^n[/mm] ist beschränkt, hat aber keinen Grenzwert, da alternierend.
Ansonsten wäre die Aufgabe auch zu einfahc, da wir in der Vorlesung bereits die Grenzwertstze bewiesen haben, also oben stehendes.
lg Karina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:30 Mi 01.12.2010 | | Autor: | fred97 |
[mm] (a_n) [/mm] ist eine Nullfolge und [mm] (b_n) [/mm] beschränkt.
Es ex. ein c>0 mit [mm] $|b_n| \le [/mm] c$ für alle n
Dann:
[mm] $|a_n*b_n| \le c*|a_n|$ [/mm] für alle n.
Was folgt ?
FRED
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> [mm](a_n)[/mm] ist eine Nullfolge und [mm](b_n)[/mm] beschränkt.
>
> Es ex. ein c>0 mit [mm]|b_n| \le c[/mm] für alle n
>
> Dann:
>
> [mm]|a_n*b_n| \le c*|a_n|[/mm] für alle n.
>
> Was folgt ?
>
> FRED
[mm]
\varepsilon\*=\bruch{\varepsilon}{c}[/mm]
[mm]|a_n*b_n|\le c*|a_n|\le c*\varepsilon = \varepsilon\*[/mm]
Daraus folgt dann, dass [mm]a_n*b_n \to 0[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:22 Mi 01.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Richtig
FRED
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