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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 So 13.11.2005 | | Autor: | denwag |
hi, ich brauche dringend eine lösung zu folgender aufgabe:
Seien ( [mm] a_{n}), [/mm] ( [mm] b_{n}) [/mm] und ( [mm] c_{n}) [/mm] drei Zahlenfolgen mit [mm] a_{n} \le b_{n} \le c_{n} [/mm] für alle n [mm] \in [/mm] N. Außerdem seien ( [mm] a_{n}) [/mm] und
( [mm] c_{n}) [/mm] konvergent mit
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} c_{n} [/mm] =: c.
Zeigen Sie: Die Folge ( [mm] a_{n}) [/mm] ist konvergent und es gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_{n} [/mm] = c.
Zusatz: Gilt die Aussage auch dann noch, wenn nur [mm] a_{n} \le b_{n} \le c_{n} [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N für ein festes N [mm] \in [/mm] N
vorausgesetzt wird?
Ich versteh das ganze gar nicht und deshalb hoffe ich das mir jemand das vielleicht lösen kann. würde mich auf jeden fall weiterbringen. oder zumindestens einen ansatz.
danke für jede hilfe.
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Du hast nen Tippfehler drin :)
> Zeigen Sie: Die Folge ( [mm]a_{n})[/mm] ist konvergent [...]
Da meinst du ( [mm]b_{n})[/mm] :)
Zur Problematik an sich, Grenzwerte sind schon manchmal unschön ;)
Aber betrachten wir das doch erst einmal näher.
Du weißt:
die Folgen [mm] a_{n} [/mm] und [mm] c_{n} [/mm] streben gegen einen Wert c
und
Für alle n gilt [mm] a_{n} \le b_{n} \le c_{n}
[/mm]
Nun heißt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} c_{n} [/mm] = c
sich in einer [mm] \epsilon [/mm] - Umgebung von c (mit [mm] \epsilon [/mm] beliebig klein) unendlich viele Folgenglieder von [mm] c_{n} [/mm] und [mm] a_{n} [/mm] liegen
Da jetzt aber für alle, also auch für ein fest gewähltes n [mm] a_{n} \le b_{n} \le c_{n}, [/mm] liegen auch unendlich viele Folgenglieder von [mm] b_{n} [/mm] in eben derselben [mm] \epsilon [/mm] - Umgebung von c.
Und zu der Einschränkung n [mm] \ge [/mm] N hat mal mein Analysis Dozent ein sehr nettes Zitat gebracht, das mit ein wenig Erklärung durchaus auch schon Lösung des Ganzen ist:
Was interessieren uns bei unendlich vielen die ersten 10.000 oder die erste Million Folgenglieder!?
Gilt das ganze als erst ab einem bestimmten Wert N [mm] \in \IN [/mm] ist das ja durchaus immernoch für unendlich viele erfüllt (sowohl der Grenzwert als auch das "einschnüren" der Folge [mm] b_{n} [/mm] )
Ich hoffe das Hilft soweit
gruß
dmw
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