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| Aufgabe | (a) [mm] lim_{n->\infty} X_n [/mm] = [mm] +\infty [/mm] ==> [mm] lim_{n->\infty} 1/x_n [/mm] = 0
(b) [mm] lim_{n->\infty} x_n [/mm] = 0 und [mm] x_n [/mm] > 0 für alle n [mm] \in [/mm] N ==> [mm] lim_{n->\infty} 1/x_n [/mm] = [mm] \infty [/mm] |
Hallo!
zur a)
Ich würde bei dieser Aufgabe mit der [mm] \varepsilon [/mm] Umgebung arbeiten.
Allerdings weiß ich nicht genau wie ich da drauf kommen soll. Wir haben bereits so einen ähnlichen Beweis geführt, nämlich dass [mm] x_n [/mm] Nullfolge ist und wenn [mm] y_n [/mm] kleiner [mm] x_n [/mm] ist ist [mm] y_n [/mm] ebenfalls eine Nullfolge.
Folgendermaßen:
[mm] y_n \le x_n [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]
Der Beweis ist klar, doch wie geh ich da denn nun ran?
kann ich wieder vorraussetzen, das [mm] x_n [/mm] > [mm] \varepsilon [/mm] und damit dann wieder irgendwie was machen??
Zur b) hab ich mir noch nichts überlegt!
Falls aber jemand schon mal einen kleine Tip hat, bin für jede Hilfe dankbar!
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Hi Jana ,
ich würde einfach die Definition anwenden
Ausgedrückt: unter der Annahme , dass die Folge
[mm] \bruch{1}{x_{n}} [/mm] konvergiert folgt aus [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n} [/mm] = [mm] \infty [/mm]
dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{x_{n}} [/mm] = 0
wir gehen also von einem Grenzwert b aus
und zeigen , dass dieser 0 sein muss
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] : n [mm] \ge [/mm] N : | [mm] \bruch{1}{x_{n}} [/mm] - b | < [mm] \varepsilon
[/mm]
1) nehmen wir an dass b > 0
da uns große n interessieren und ab einem gewissen n
[mm] (\bruch{1}{x_{n}} [/mm] - b) negativ wird , lösen wir die Betragsstzriche auf
[mm] \rightarrow
[/mm]
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] : n [mm] \ge [/mm] N : b - [mm] \bruch{1}{x_{n}} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \rightarrow
[/mm]
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] : n [mm] \ge [/mm] N : b * [mm] x_{n} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] * [mm] x_{n} [/mm] + 1
wähle [mm] \varepsilon [/mm] = 1/2b
[mm] \rightarrow
[/mm]
[mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] : n [mm] \ge [/mm] N : b * [mm] x_{n} [/mm] < 1/2b * [mm] x_{n} [/mm] + 1
wegen [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
[mm] \rightarrow [/mm] b < 0 wiederspruch zu b > 0
2) nehmen wir an das b< 0
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] : n [mm] \ge [/mm] N : [mm] \bruch{1}{x_{n}} [/mm] - b < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \rightarrow
[/mm]
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] : n [mm] \ge [/mm] N : b * [mm] x_{n} [/mm] > 1 - [mm] \varepsilon [/mm] * [mm] x_{n}
[/mm]
wähle [mm] \varepsilon [/mm] = -b
[mm] \rightarrow
[/mm]
[mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] : n [mm] \ge [/mm] N : b * [mm] x_{n} [/mm] > 1 + b* [mm] x_{n}
[/mm]
falsche Aussage
Aus 1 und 2 folgt b = 0
das wäre doch eine Möglichkeit . Könnte man b ähnlich angehen ?
vielleicht grenzwert annehmen zum Wiederspruch gelangen
und aufgrund von Monotonieverhalten weiter schließen ?
lieber Gruß
Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:27 Di 25.11.2008 | | Autor: | Tommylee |
sorry ,
mir ist ein Fehler unterlaufen , habe verbessert .
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:42 Di 25.11.2008 | | Autor: | Tommylee |
Hallo ,
ich hoffe ich habs jetzt , bisschen dusselig heute , Fehler bitte melden
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warum kann ich epsilon einfach als 1/2b wählen??
Das ist ja völlig frei gewählt?....einfach um irgendwo einen Widerspruch zu bekommen?!?! Oder nicht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 Mi 26.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> warum kann ich epsilon einfach als 1/2b wählen??
> Das ist ja völlig frei gewählt?....einfach um irgendwo
> einen Widerspruch zu bekommen?!?! Oder nicht?
Genau.
Aber es geht viel einfacher:
Es gelte [mm] x_n [/mm] ---> [mm] \infty. [/mm] Zu zeigen: [mm] 1/x_n [/mm] ---> 0.
Sei [mm] \epsilon [/mm] > 0. Es ex. ein N [mm] \in \IN [/mm] mit: [mm] x_n [/mm] > [mm] 1/\epsilon [/mm] für n > N.
Also 0< [mm] 1/x_n [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] für n > N.
FRED
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