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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:08 Mo 01.11.2010 | | Autor: | yuppi |
Hallo ich versuche eine Funktion auf Injektivität zu beweisen im Definitionsbereich -2 [mm] \pi [/mm] bis 2 [mm] \pi
[/mm]
Es handelt sich hierbei um die Funktion f(x)= sin(x)
Ich wüsste aufjedenfall aufgrund der Abbildung das diese Funtion nicht injektiv ist, doch wie zeige ich dies bei trigonometrischen Funktionen...
Da fällt mir die Umformung schwer... Surjektiv ist die Funktion auch nicht, da jedem y ein x zugeordet werden müsste....das rechneriche fällt mir da auch schwer...
Solange es ganzrationale Funktionen sind habe ich kein Problem bei der Beweisführung.
Also : f(x1)=f(x2) z.z x1=x2
sin(x1)=sin(x2)
Das Sinus kann man ja jetzt nicht wegbekommen. Man darf ja Sinus nicht geteilt Sinus rechnen.
Kann man deswegen hier sagen. Da sin(x) nicht x1=x2 ist die Funktion nicht injektiv ?
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Hi,
wenn du $ f(x) = [mm] \sin(x) [/mm] $ für $ x [mm] \in ]-2\pi, 2\pi[ [/mm] $ betrachtest findest du min. zwei Nullstellen.
So kannst du die Injektivität widerlegen.
Für die Surjektivität betrachte den Zielbereich. Ist dieser $ [mm] \IR [/mm] $, reicht es zu sagen, dass $ -1 [mm] \le \sin(x) \le [/mm] 1 \ [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] $
Grüße
ChopSuey
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:34 Mo 01.11.2010 | | Autor: | yuppi |
Danke für deine Mühe =)
kannst du mir vielleicht zeigen, wie man Nullstellen von Trigometrischen Funktionen berechnen kann ?
Beispielsweise sin(x) = 0
Ich weiß dass die NS [mm] \pi -\pi [/mm] und [mm] 2\pi [/mm] und [mm] -2\pi [/mm] lautet... aber wie gehts rechnerisch ?
oder cos(x)=0
Würde der Injektivitätbeweis nicht mit meinem Schema funktionieren ?
Wenn ich ehrlich bin habe ich deine Ausfrührungen zur Injektivität zwar verstanden...
Also du meintest das es nach +1 und -1 in der y Achse kein y mehr einem x zugeordet wird...
Aber was wäre wenn man die Skizze nicht wüsste... ? das müsste ja irgendwie auch rechnerisch gehen ?
Man weiß ja nie wie komplex die Aufgaben in der Klausur sind..
Gruß yuppi ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:16 Mo 01.11.2010 | | Autor: | MaRaQ |
Hallo yuppi,
die Nullstellen des Sinus und des Kosinus sind enorm einfach zu bestimmen, du weißt sie ja auch schon auswendig. 
Sie werden im Allgemeinen nicht berechnet, sondern über ihre Definition gefolgert. Da kann man z.B. über die Reihendarstellung arbeiten, oder was ich schöne finde, mit der Euler'schen Formel. Eines von beidem ist bestimmt auch in deiner Vorlesung vorgekommen (oder kommt noch, falls ihr die erst mal nur trivial eingeführt habt).
Wenn man z.B. Sinus und Kosinus über die Euler'sche Formel als Real- und Imaginärteil der (komplexen) Exponentialfunktion definiert,
[mm]e^{it} = cos(t) + i*sin(t)[/mm] (Euler'sche Formel)
kann man daraus Folgerungen anstellen, die unter anderem "herausfinden", dass es sich um periodische Funktionen mit Periode [mm] 2\pi [/mm] handelt, dass sin(0) = 0 und dass cos(0) = 1 ist und die Additionstheoreme gelten.
Aus den Additionstheoremen schließt man dann recht einfach folgendes:
[mm]sin(x) = 0 \gdw x = k\pi , k \in \IZ[/mm]
[mm]cos(x) = 0 \gdw x = (k + \bruch{1}{2})\pi , k \in \IZ[/mm]
Also: Da die Funktionen periodisch sind, sind es ihre Nullstellen auch und aus dieser Hilfsformel kannst du dir immer herleiten, dass die Nullstellen des Cosinus z.B. [mm] \bruch{1}{2}\pi, \bruch{3}{2}\pi, \bruch{5}{2})\pi, [/mm] ... sind.
Die Folgerungen oben erspar ich dir hier, du kannst sie ja - wenn es dich interessiert - mal in einschlägiger Literatur nachlesen. Ich finde das recht lohnenswert, aber letztlich muss sich da jeder seinen Weg finden. Stichworte habe ich denke ich genug geliefert.
Was mich immer wieder begeistert ist, wie einfach und elegant man sich über obige Formel fast alle trigonometrischen Zusammenhänge selbst herleiten kann. Seit mir das mal vorgeführt worden ist, habe ich die Additionstheoreme nie wieder vergessen oder verwechselt.
Ein Hinweis noch:
Wegen [mm]tan x := \bruch{sin x}{cos x}[/mm] und [mm]cot x = \bruch{cos x}{sin x}[/mm] sind der Tangens und der Cotangens periodische Funktionen mit Periode [mm] \pi. [/mm] (Logisch: Wegen sin(x + [mm] \pi) [/mm] = -sin(x) und cos(x + [mm] \pi) [/mm] = -cos(x) kürzt sich das Minus im Bruch weg. ).
Die Nullstellen sind auch einfach aus der Definition abzulesen, die Nullstellen des Tangens sind gleich denen des Sinus - und die des Cotangens gleich denen des Cosinus.
Wichtig: Für die Nullstellen der jeweils anderen Funktion sind sie natürlich nicht definiert! Das sind die "Nahtstellen" in den Graphen...
Also auch hier: Wenn man die Nullstellen des Sinus und des Cosinus über obige Definition kennt, dann kennt man auch die Nullstellen und Definitionslücken von Tangens und Cotangens und deren Periode...
Schöne Grüße,
Maraq
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mi 03.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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