Beweis von Körpern < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm]
Sei K:={x\in\IR;x=a+b\wurzel{2};a,b\in\IQ
[/mm]
Zeigen Sie, dass K mit der von [mm] \IR [/mm] "geerbten" Addition bzw. Multiplikation ein Körper ist. Besitzt die Gleichung y²=3 in K eine Lösung? |
Den Beweis, dass K ein Körper ist habe ich gemacht. Nur komm ich mit der Gleichung y²=3 nicht klar. Ich denke sie liegt nicht in K, da ich ja [mm] \wurzel{3} [/mm] nicht als [mm] a+b\wurzel{2} [/mm] schreiben kann. Aber wie beweis ich das? Oder lieg ich falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:11 Do 04.05.2006 | | Autor: | dormant |
Hi!
Mir fällt nur eine Beweisführung mittels Intervallschachtelungsprinzip ein. Schau dir noch mal in der Literatur an, wie man beweist, dass [mm] \wurzel{2}\not\in\IQ [/mm] (das gibt es fast in jedem Buch, etwa Königsberger oder Forster, wenn ich mich so recht erinnere). So ähnlich sollte auch dein Beweis gehen.
Gruß,
dormant
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Hallo,
hatte gerade in Vorlesung den Begriff Körper und wollte mir ein paar Aufgaben über Körper anschauen. Jedoch habe ich keine Ahnung wie bei dieser Aufgabe rangehen sollte?! Ich würde eigentlich nur gerne wissen, z.B. anhand dieser Aufabe wie man einen Körper beweisst.
Als definition hatten wir, dass ein Körper K eine Menge mit zwei verknüpfungen ist(+,*) und folgende eigenschaften erfüllt:
I.) (K,+) ist eine abelsche Gruppe.
Das neutrale Element sei mit "0" bezeichnet.
II.)(K \ {0},*) ist eine Gruppe.
Das neutrale Element sei mit "1" bezeichnet.
III.) Es gelte das Distributivgesetze: a*(b+c)=ab+ac
Würde mich freuen wenns mir jemand erklären könnte.
MFG
Nathenatiker
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:21 Do 04.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo nathenatiker
Da sich die Rechengesetze der reellen Zahlen vererben, musst du nur die Inversen Elemente zeigen. Additives Inverses ist einfach mit -a und -b, Multiplikatives Inverses such mal selbst, (3. binomische Formel) Was fehlt dann noch?
Gruss leduart.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 Do 04.05.2006 | | Autor: | leduart |
hallo Stiffmaster
Wenn du vorraussetzen darfs, dass [mm] \wurzel{2} [/mm] irrational ist. setz einfach [mm] y=a+b\wurzel{2}
[/mm]
damit [mm] $3=a^2+2b^2+2*\wurzel{2}*a*b$^2
[/mm]
oder [mm] 3/ab-a/b-b/a=2*\wurzel{2} [/mm] links lauter rationale Ausdrücke, rechts [mm] \wurzel{2} [/mm] Widerspruch zur Irrationalität von [mm] \wurzel{2}
[/mm]
dabei wurde [mm] a,b\ne0 [/mm] vorausgesetzt. aber mit der Irrationalität kann man direkt sagen [mm] a^{2}=3 [/mm] und [mm] 2b^2=3 [/mm] ist nicht möglich, also muss a und b ungleich 0 sein.
Gruss leduart.
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