Beweis von Mehrfachmengen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:10 So 11.10.2015 | | Autor: | MrAnonym |
| Aufgabe | Wenn A eine Menge und B [mm] $\not=$ [/mm] {} eine Menge von Mengen ist, dann gilt
$A [mm] \backslash \bigcap_{b \in B} [/mm] b = [mm] \bigcup_{b \in B}(A \backslash [/mm] b) $ |
Hallo Leute,
ich vestehe das Beweisen noch nicht so recht. Ich soll also zeigen, dass obige "Gleichung" stimmt.
Hier wurde z.B. folgendes bewiesen, aber ich kann es nicht auf meine "Gleichung" oben übertragen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Also die Gleichung in meiner Aufgabenstellung besagt ja folgendes:
B ist doch die Menge vieler Mengen und b ist die Menge, die in B ist. Diese vielen Mengen b werden nun miteinander geschnitten und dann wird eine neue Menge ausgerechnet indem man "A OHNE b(die geschnittene Menge)" macht.
Auf der rechten Seite wird immer "A OHNE b(Menge in B)" gemacht und anschließend werden diese neuen Mengen "A OHNE b" vereinigt.
Kann mir da wer bitte einen Denkansatz geben, wie ich das machen soll? Ich verstehe es nicht so recht.
Gruß
MrAnonym
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:30 So 11.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Wenn A eine Menge und B [mm]\not=[/mm] {} eine Menge von Mengen ist,
> dann gilt
> [mm]A \backslash \bigcap_{b \in B} b = \bigcup_{b \in B}(A \backslash b)[/mm]
>
>
> Hallo Leute,
>
> ich vestehe das Beweisen noch nicht so recht. Ich soll also
> zeigen, dass obige "Gleichung" stimmt.
> Hier wurde z.B. folgendes bewiesen, aber ich kann es nicht
> auf meine "Gleichung" oben übertragen:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Also die Gleichung in meiner Aufgabenstellung besagt ja
> folgendes:
> B ist doch die Menge vieler Mengen und b ist die Menge,
> die in B ist. Diese vielen Mengen b werden nun miteinander
> geschnitten und dann wird eine neue Menge ausgerechnet
> indem man "A OHNE b(die geschnittene Menge)" macht.
> Auf der rechten Seite wird immer "A OHNE b(Menge in B)"
> gemacht und anschließend werden diese neuen Mengen "A OHNE
> b" vereinigt.
>
> Kann mir da wer bitte einen Denkansatz geben, wie ich das
> machen soll? Ich verstehe es nicht so recht.
>
> Gruß
> MrAnonym
>
>
Die Linke Menge nennen wir L und die rechte R.
Wenn Du zeigen kannst, dass gilt
L [mm] \subseteq [/mm] R und R [mm] \subseteq [/mm] L,
so bist Du fertig.
Ich zeige Dir mal L [mm] \subseteq [/mm] R:
Sei x [mm] \in [/mm] L. Dann ist x [mm] \in [/mm] A , aber $x [mm] \notin \bigcap_{b \in B} [/mm] b$. Somit gibt es ein [mm] b_0 \in [/mm] B mit: x [mm] \notin b_0.
[/mm]
Folglich gilt x [mm] \in [/mm] A [mm] \setminus b_0 [/mm] und daher auch x [mm] \in [/mm] R.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 So 11.10.2015 | | Autor: | MrAnonym |
Hallo,
danke dir für die schnelle Antwort! Das geht wirklich so einfach?
Ich versuch mal $ R [mm] \subseteq [/mm] L $:
Sei [mm] $x\in [/mm] R$ und zu Zeigen ist $x [mm] \in [/mm] L$.
D.h. $x [mm] \in [/mm] A$ und $x [mm] \not\in \bigcap_{b \in B} [/mm] b$
Es gibt also ein $b [mm] \in [/mm] B$ und $x [mm] \in [/mm] A [mm] \backslash [/mm] B$.
Es gilt: $x [mm] \in [/mm] A$ und $x [mm] \not\in [/mm] b$, also: $x [mm] \not\in \bigcap_{b \in B} [/mm] b$
und $x [mm] \in [/mm] A [mm] \backslash \bigcap_{b \in B} [/mm] b$
Muss ich da nun ein [mm] \cap [/mm] machen oder ein [mm] \cup? [/mm] Also ich bin mir nicht sicher, ob der Beweis so umgekehrt stimmt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:27 So 11.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> danke dir für die schnelle Antwort! Das geht wirklich so
> einfach?
>
> Ich versuch mal [mm]R \subseteq L [/mm]:
>
> Sei [mm]x\in R[/mm] und zu Zeigen ist [mm]x \in L[/mm].
> D.h. [mm]x \in A[/mm] und [mm]x \not\in \bigcap_{b \in B} b[/mm]
Hä ? Hast Du einfach von mir abgeschrieben ??
Es ist doch
$R = [mm] \bigcup_{b \in B}(A \backslash [/mm] b) $
Ist also x [mm] \in [/mm] R, so gibt es ein [mm] b_0 \in [/mm] B mit: $x [mm] \in [/mm] A [mm] \backslash b_0$.
[/mm]
Jetzt Du.
FRED
> Es gibt
> also ein [mm]b \in B[/mm] und [mm]x \in A \backslash B[/mm].
> Es gilt: [mm]x \in A[/mm]
> und [mm]x \not\in b[/mm], also: [mm]x \not\in \bigcap_{b \in B} b[/mm]
> und [mm]x \in A \backslash \bigcap_{b \in B} b[/mm]
>
> Muss ich da nun ein [mm]\cap[/mm] machen oder ein [mm]\cup?[/mm] Also ich bin
> mir nicht sicher, ob der Beweis so umgekehrt stimmt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 So 11.10.2015 | | Autor: | MrAnonym |
Ahh, ja ich hab die falschen Cups verwendet, sorry, folgendes habe ich jetzt:
Es sei x [mm] \in [/mm] R, so gibt es ein b [mm] \in [/mm] B mit x [mm] \in [/mm] A [mm] \backslash [/mm] B, somit ist x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \not\in [/mm] b. Okay hier muss ich zwischenfragen, folgendes hat mich verwirrt. Links wird doch der Schnitt berechnet und rechts die Vereinigung. Ist das denn überhaupt dasselbe?
Wenn ich es mir durchdenke und folgendes schreibe:
$ A [mm] \backslash \bigcup_{b \in B} [/mm] b = [mm] \bigcup_{b \in B}(A \backslash [/mm] b) $
Linke Seite: Alle Mengen b's in B werden vereinigt zu einer Menge und dann wird aussortiert mit A [mm] \backslash [/mm] b_gesamt.
Rechte Seite: Hier wird jedes b mit A behandelt: A [mm] \backslash [/mm] B
Und die einzelnen behandelten Mengen, die herauskommen, werden dann vereinigt.
Also ist es doch logisch, dass ist die linke Seite dasselbe, wie die rechte Seite, oder?
Zurück zum alten Beispiel:
Ist das jetzt überhaupt gleich, oder muss ich es beweisen, dass L und R nicht gleich sind? Ich bin ein wenig verwirrt, obwohl ich weiß, was die einzelnen Operatoren tun. Ich hoffe du kannst mir wieder weiterhelfen.
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Ahh, ja ich hab die falschen Cups verwendet, sorry,
> folgendes habe ich jetzt:
>
> Es sei x [mm]\in[/mm] R, so gibt es ein b [mm]\in[/mm] B mit x [mm]\in[/mm] A
> [mm]\backslash[/mm] B, somit ist x [mm]\in[/mm] A und x [mm]\not\in[/mm] b. Okay hier
> muss ich zwischenfragen, folgendes hat mich verwirrt. Links
> wird doch der Schnitt berechnet und rechts die Vereinigung.
> Ist das denn überhaupt dasselbe?
Schnitt und Vereinigung sind natürlich nicht dasselbe.
Aber die Mengen aus der Aufgabenstellung sind gleich ...
>
> Wenn ich es mir durchdenke und folgendes schreibe:
> [mm]A \backslash \bigcup_{b \in B} b = \bigcup_{b \in B}(A \backslash b)[/mm]
Wieso jetzt das?
>
> Linke Seite: Alle Mengen b's in B werden vereinigt zu einer
> Menge und dann wird aussortiert mit A [mm]\backslash[/mm] b_gesamt.
>
> Rechte Seite: Hier wird jedes b mit A behandelt: A
> [mm]\backslash[/mm] B
> Und die einzelnen behandelten Mengen, die herauskommen,
> werden dann vereinigt.
>
> Also ist es doch logisch, dass ist die linke Seite
> dasselbe, wie die rechte Seite, oder?
Nein, wenn es ein [mm] $b_0$ [/mm] gibt, dass $x$ nicht enthält, muss das doch noch lange nicht heißen, dass $x$ in keiner der Mengen [mm] $b\in [/mm] B$ enthalten ist ...
>
> Zurück zum alten Beispiel:
> Ist das jetzt überhaupt gleich, oder muss ich es beweisen,
> dass L und R nicht gleich sind? Ich bin ein wenig verwirrt,
> obwohl ich weiß, was die einzelnen Operatoren tun. Ich
> hoffe du kannst mir wieder weiterhelfen.
Gehen wir die Richtung [mm]R\subseteq L[/mm] von Fred mal weiter durch
Wenn [mm]x\in R[/mm] ist, gibt es also ein [mm]b_0\in B[/mm] mit [mm]x\in A\setminus b_0[/mm]
Also [mm]x\in A[/mm] und [mm]x\notin b_0[/mm]
Wenn [mm]x[/mm] aber nicht in [mm]b_0[/mm] ist, kann es auch nicht im Schnitt über alle [mm]b\in B[/mm] liegen, denn es müsste ja in jedem [mm]b\in B[/mm] liegen - tut es aber nicht
Also [mm]x\notin \bigcap\limits_{b\in B}b[/mm]
Den sehr kurzen Rest mache mal fertig und schreibe (zumindest für dich) mal alles schön sorgfältig und ausführlich auf.
Das hilft ungemein.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
