Beweis von Metriken < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:50 Sa 09.01.2016 | | Autor: | Canibusm |
| Aufgabe | d(x,y) = [mm] \wurzel{(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}}
[/mm]
Überlegen Sie, dass d eine Metrik im R{2} ist. |
Positivität/Definitheit und Symmetrie habe ich selbst hinbekommen, die Dreiecksungleichung fällt mir allerdings schwer.
d(x,y) [mm] \le [/mm] d(x,z) + d(z,y)
[mm] \gdw \wurzel{(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}} \le \wurzel{(x_{1}-z_{1})^{2}+(x_{2}-z_{2})^{2}} [/mm] + [mm] \wurzel{(z_{1}-y_{1})^{2}+(z_{2}-y_{2})^{2}} [/mm]
Jetzt komme ich nicht mehr weiter...
Ich bin über jede Hilfestellung dankbar 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 Sa 09.01.2016 | | Autor: | statler |
Guten Tag!
> d(x,y) = [mm]\wurzel{(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}}[/mm]
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> Überlegen Sie, dass d eine Metrik im R{2} ist.
> Positivität/Definitheit und Symmetrie habe ich selbst
> hinbekommen, die Dreiecksungleichung fällt mir allerdings
> schwer.
>
> d(x,y) [mm]\le[/mm] d(x,z) + d(z,y)
>
> [mm]\gdw \wurzel{(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}} \le \wurzel{(x_{1}-z_{1})^{2}+(x_{2}-z_{2})^{2}}[/mm]
> + [mm]\wurzel{(z_{1}-y_{1})^{2}+(z_{2}-y_{2})^{2}}[/mm]
>
> Jetzt komme ich nicht mehr weiter...
>
> Ich bin über jede Hilfestellung dankbar
Eine hilfreiche Grundregel ist: Alles, was stört, muß weg. Mich würden die Wurzeln stören.
Gruß aus HH
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Sa 09.01.2016 | | Autor: | Canibusm |
| Aufgabe | Guten Tag!
> d(x,y) = [mm]\wurzel{(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}}[/mm]
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> Überlegen Sie, dass d eine Metrik im R{2} ist.
> Positivität/Definitheit und Symmetrie habe ich selbst
> hinbekommen, die Dreiecksungleichung fällt mir allerdings
> schwer.
>
> d(x,y) [mm]\le[/mm] d(x,z) + d(z,y)
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> [mm]\gdw \wurzel{(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}} \le \wurzel{(x_{1}-z_{1})^{2}+(x_{2}-z_{2})^{2}}[/mm]
> + [mm]\wurzel{(z_{1}-y_{1})^{2}+(z_{2}-y_{2})^{2}}[/mm]
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> Jetzt komme ich nicht mehr weiter...
>
> Ich bin über jede Hilfestellung dankbar
Eine hilfreiche Grundregel ist: Alles, was stört, muß weg. Mich würden die Wurzeln stören.
Gruß aus HH
Dieter |
Die Wurzeln stören mich auch :D
[mm] \wurzel{(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}} \le \wurzel{(x_{1}-z_{1})^{2}+(x_{2}-z_{2})^{2}} [/mm] + [mm] \wurzel{(z_{1}-y_{1})^{2}+(z_{2}-y_{2})^{2}}
[/mm]
[mm] (x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}\le (\wurzel{(x_{1}-z_{1})^{2}+(x_{2}-z_{2})^{2}} [/mm] + [mm] \wurzel{(z_{1}-y_{1})^{2}+(z_{2}-y_{2})^{2}})^{2}
[/mm]
Mache ich auf der rechten Seite jetzt mit der binomischen Formel weiter?
Vielen Dank für deine Hilfe, Dieter!
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Hallo,
> Guten Tag!
>
> > d(x,y) = [mm]\wurzel{(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}}[/mm]
> >
> > Überlegen Sie, dass d eine Metrik im R{2} ist.
> > Positivität/Definitheit und Symmetrie habe ich selbst
> > hinbekommen, die Dreiecksungleichung fällt mir allerdings
> > schwer.
> >
> > d(x,y) [mm]\le[/mm] d(x,z) + d(z,y)
> >
> > [mm]\gdw \wurzel{(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}} \le \wurzel{(x_{1}-z_{1})^{2}+(x_{2}-z_{2})^{2}}[/mm]
> > + [mm]\wurzel{(z_{1}-y_{1})^{2}+(z_{2}-y_{2})^{2}}[/mm]
> >
> > Jetzt komme ich nicht mehr weiter...
> >
> > Ich bin über jede Hilfestellung dankbar
>
> Eine hilfreiche Grundregel ist: Alles, was stört, muß
> weg. Mich würden die Wurzeln stören.
> Gruß aus HH
> Dieter
> Die Wurzeln stören mich auch :D
>
> [mm]\wurzel{(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}} \le \wurzel{(x_{1}-z_{1})^{2}+(x_{2}-z_{2})^{2}}[/mm]
> + [mm]\wurzel{(z_{1}-y_{1})^{2}+(z_{2}-y_{2})^{2}}[/mm]
>
> [mm](x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}\le (\wurzel{(x_{1}-z_{1})^{2}+(x_{2}-z_{2})^{2}}[/mm]
> + [mm]\wurzel{(z_{1}-y_{1})^{2}+(z_{2}-y_{2})^{2}})^{2}[/mm]
>
> Mache ich auf der rechten Seite jetzt mit der binomischen
> Formel weiter?
Na klar, das bietet sich doch an.
Rechne doch einfach mal weiter - kann ja nix kaputt gehen 
>
> Vielen Dank für deine Hilfe, Dieter!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Di 12.01.2016 | | Autor: | Canibusm |
| Aufgabe | Hallo,
> Guten Tag!
>
> > d(x,y) = [mm]\wurzel{(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}}[/mm]
> >
> > Überlegen Sie, dass d eine Metrik im R{2} ist.
> > Positivität/Definitheit und Symmetrie habe ich selbst
> > hinbekommen, die Dreiecksungleichung fällt mir allerdings
> > schwer.
> >
> > d(x,y) [mm]\le[/mm] d(x,z) + d(z,y)
> >
> > [mm]\gdw \wurzel{(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}} \le \wurzel{(x_{1}-z_{1})^{2}+(x_{2}-z_{2})^{2}}[/mm]
> > + [mm]\wurzel{(z_{1}-y_{1})^{2}+(z_{2}-y_{2})^{2}}[/mm]
> >
> > Jetzt komme ich nicht mehr weiter...
> >
> > Ich bin über jede Hilfestellung dankbar
>
> Eine hilfreiche Grundregel ist: Alles, was stört, muß
> weg. Mich würden die Wurzeln stören.
> Gruß aus HH
> Dieter
> Die Wurzeln stören mich auch :D
>
> [mm]\wurzel{(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}} \le \wurzel{(x_{1}-z_{1})^{2}+(x_{2}-z_{2})^{2}}[/mm]
> + [mm]\wurzel{(z_{1}-y_{1})^{2}+(z_{2}-y_{2})^{2}}[/mm]
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> [mm](x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}\le (\wurzel{(x_{1}-z_{1})^{2}+(x_{2}-z_{2})^{2}}[/mm]
> + [mm]\wurzel{(z_{1}-y_{1})^{2}+(z_{2}-y_{2})^{2}})^{2}[/mm]
>
> Mache ich auf der rechten Seite jetzt mit der binomischen
> Formel weiter?
Na klar, das bietet sich doch an.
Rechne doch einfach mal weiter - kann ja nix kaputt gehen
>
> Vielen Dank für deine Hilfe, Dieter!
Gruß
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
vielen Dank erst einmal für deine Antwort!
[mm] (x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}\le (\wurzel{(x_{1}-z_{1})^{2}+(x_{2}-z_{2})^{2}} [/mm] + [mm] \wurzel{(z_{1}-y_{1})^{2}+(z_{2}-y_{2})^{2}})^{2}
[/mm]
[mm] \gdw (x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2} \le (x_{1}-z_{1})^{2} [/mm] + [mm] (x_{2}-z_{2})^{2} [/mm] + [mm] (z_{1}-y_{1})^{2} [/mm] + [mm] (z_{2}-y_{2})^{2} [/mm] + [mm] 2\wurzel{(x_{1}-z_{1})^{2}+(x_{2}-z_{2})^{2}}\wurzel{(z_{1}-y_{1})^{2}+(z_{2}-y_{2})^{2}}
[/mm]
Übersichtlicher: a + b [mm] \le [/mm] c + d + e + f + [mm] 2\wurzel{cd}\wurzel{ef}
[/mm]
Ich erkenne einfach nicht, wie ich hier jetzt sinnvoll weitermache?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:07 Di 12.01.2016 | | Autor: | chrisno |
Ich würde nun die Klammern mit den Quadraten auflösen. Die Begründung ist, das es eine Menge Terme der Sorte [mm] $x_1^2$ [/mm] gibt, die sich dann weg heben.
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