Beweis von Satz v. Weierstraß < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich habe ein paar einzelne Fragen zum Beweis vom Satz von Weierstraß. Hier nochmal der Satz den ich meine:
Sei f:M [mm] \to \IR [/mm] stetig,M [mm] \subset \IR^n, [/mm] M kompakt. Dann ist f beschränkt und f nimmt Maximum und Minimum an.
Beweis (nur für nach unten beschränkt und Minumum):
Behauptung: i:=inf f > [mm] -\infty
[/mm]
Nach Defintion der Infimums gilt: Es gibt eine Folge [mm] (x_n) [/mm] mit [mm] f(x_n) \to [/mm] i, n [mm] \to \infty (x_n [/mm] heißt Minimalfolge)
Das ist ja noch klar, jetzt kommt ein Widerspruchsbeweis:
Annahme: [mm] i=-\infty. [/mm] Wir haben M beschränkt, also nach dem Auswahlsatz existiert eine Teilfolge [mm] x_{n_k} [/mm] mit [mm] x_{n_k} \to x_0 \in \IR^n [/mm] mit [mm] k\to \infty.
[/mm]
Behauptung: [mm] x_0 \in [/mm] M. Denn M ist abgeschlossen, also [mm] \IR^n-M [/mm] ist offen, d.h. jeder Punkt [mm] x\in \IR^n-M [/mm] ist ein innerer Punkt, bzw. [mm] U_\varepsilon(x) \subset \IR^n-M. [/mm] Also muss [mm] x_0 \in [/mm] M gelten.
Warum folgt daraus, dass [mm] x_0 [/mm] in M liegt? Das versteht ich nicht.
f ist stetig, also [mm] f(x_{n_k}) \to f(x_0) [/mm] bei k [mm] \to \infty. [/mm] Andererseits gilt aber [mm] f(x_{n_k}) \to [/mm] i, also [mm] f(x_0)=i=-\infty [/mm] Wdspr! f ist beschränkt!
Wo genau ist das der Widerspruch? Wir haben doch grad angenommen, dass [mm] i=-\infty [/mm] ist und das [mm] f(x_0)\not= -\infty [/mm] ist wollen wir doch eigentlich erst zeigen!?
Annahme des Minimums:
Sei [mm] x_n [/mm] Folge in M mit [mm] x_{n_k} \to x_0, x_0 \in [/mm] M und [mm] f(x_{n_k}) \to [/mm] i = inf f. Dann folgt:
inf f = i [mm] \le f(x_0) [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} f(x_{n_k}) [/mm] = i = inf f. Somit [mm] f(x_0) [/mm] = i, d.h. [mm] x_0 \in [/mm] M ist Minimum.
Die Gleichungskette verstehe ich, aber wofür haben wir die Überhaupt noch gemacht? Eigentlich haben wir doch oben schon gezeigt, das [mm] f(x_0) [/mm] = i und wenn i [mm] \not= \infty [/mm] ist, muss [mm] x_0 [/mm] doch das Minimum sein.
Danke für Eure Hilfe,
Grüße Patrick
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> Hallo!
> Ich habe ein paar einzelne Fragen zum Beweis vom Satz von
> Weierstraß. Hier nochmal der Satz den ich meine:
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> Sei f:M [mm]\to \IR[/mm] stetig,M [mm]\subset \IR^n,[/mm] M kompakt. Dann ist
> f beschränkt und f nimmt Maximum und Minimum an.
>
> Beweis (nur für nach unten beschränkt und Minumum):
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> Behauptung: i:=inf f > [mm]-\infty[/mm]
> Nach Defintion der Infimums gilt: Es gibt eine Folge [mm](x_n)[/mm]
> mit [mm]f(x_n) \to[/mm] i, n [mm]\to \infty (x_n[/mm] heißt Minimalfolge)
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> Das ist ja noch klar, jetzt kommt ein Widerspruchsbeweis:
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> Annahme: [mm]i=-\infty.[/mm] Wir haben M beschränkt, also nach dem
> Auswahlsatz existiert eine Teilfolge [mm]x_{n_k}[/mm] mit [mm]x_{n_k} \to x_0 \in \IR^n[/mm]
> mit [mm]k\to \infty.[/mm]
> Behauptung: [mm]x_0 \in[/mm] M. Denn M ist
> abgeschlossen, also [mm]\IR^n-M[/mm] ist offen, d.h. jeder Punkt
> [mm]x\in \IR^n-M[/mm] ist ein innerer Punkt, bzw. [mm]U_\varepsilon(x) \subset \IR^n-M.[/mm]
> Also muss [mm]x_0 \in[/mm] M gelten.
>
> Warum folgt daraus, dass [mm]x_0[/mm] in M liegt? Das versteht ich
> nicht.
Hier wird etwas bewiesen, das man in der Regel ohne weitere Argumentation voraussetzen würde: Der Limes einer konvergenten Folge von Elementen einer abgschlossenen Mengen liegt selbst in dieser Menge.
Dies wird hier im Detail argumentiert: würde der Limes [mm] $x_0$ [/mm] nicht in der abgeschlossenen Menge $M$ liegen, dann würde er im offenen Komplement [mm] $\IR^n\backslash [/mm] M$ von $M$ liegen. Es gäbe also eine ganze [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] von [mm] $x_0$ [/mm] die ganz im Komplement [mm] $\IR^n\backslash [/mm] M$ von $M$ liegt. Dies bedeutet aber, dass die gegen [mm] $x_0$ [/mm] konvergierenden Folgenglieder nicht näher als [mm] $\varepsilon$ [/mm] an [mm] $x_0$ [/mm] herankommen können, weil sie alle in $M$ liegen, also jedenfalls ausserhalb dieser [mm] $\varepsilon$-Umgebung: [/mm] im Widerspruch zur Konvergenz der Folge gegen [mm] $x_0$.
[/mm]
> f ist stetig, also [mm]f(x_{n_k}) \to f(x_0)[/mm] bei k [mm]\to \infty.[/mm]
> Andererseits gilt aber [mm]f(x_{n_k}) \to[/mm] i, also
> [mm]f(x_0)=i=-\infty[/mm] Wdspr! f ist beschränkt!
>
> Wo genau ist das der Widerspruch? Wir haben doch grad
> angenommen, dass [mm]i=-\infty[/mm] ist und das [mm]f(x_0)\not= -\infty[/mm]
> ist wollen wir doch eigentlich erst zeigen!?
Es wurde angenommen, dass das Infimum [mm] $i=-\infty$ [/mm] ist. Nun zeigt sich, dass [mm] $i=f(x_0)$ [/mm] sein muss. Dies ist ein Widerspruch zur Annahme, dass [mm] $i=-\infty$. [/mm] Denn [mm] $f(x_0)$ [/mm] muss [mm] $\in \IR$, [/mm] also [mm] $\neq \infty$ [/mm] sein, weil [mm] $x_0\in [/mm] M$: $f$ ist ja als auf ganz $M$ definierte stetige Funktion [mm] $M\rightarrow \IR$ [/mm] vorausgesetzt.
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> Annahme des Minimums:
> Sei [mm]x_n[/mm] Folge in M mit [mm]x_{n_k} \to x_0, x_0 \in[/mm] M und
> [mm]f(x_{n_k}) \to[/mm] i = inf f. Dann folgt:
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> inf f = i [mm]\le f(x_0)[/mm] = [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} f(x_{n_k})[/mm]
> = i = inf f. Somit [mm]f(x_0)[/mm] = i, d.h. [mm]x_0 \in[/mm] M ist Minimum.
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> Die Gleichungskette verstehe ich, aber wofür haben wir die
> Überhaupt noch gemacht? Eigentlich haben wir doch oben
> schon gezeigt, das [mm]f(x_0)[/mm] = i und wenn i [mm]\not= \infty[/mm] ist,
> muss [mm]x_0[/mm] doch das Minimum sein.
Hier kann man sich wirklich fragen, ob diese Argumentation noch nötig war. Weiter oben ist die zentrale Idee bereits enthalten. Nur, dass dort [mm] $i=-\infty$ [/mm] angenommen worden war und deshalb die Existenz dieses [mm] $x_0$ [/mm] und die Minimumeigenschaft von [mm] $f(x_0)$ [/mm] nach Ansicht des Autors dieses Beweises vielleicht einfach nochmals zusammengefasst hingeschrieben werden sollte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:03 Di 12.08.2008 | | Autor: | XPatrickX |
Perfekte Antwort, habe jetzt alles verstanden.
Danke!
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