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| Aufgabe | Zeigen Sie dass für reelle Zahlen r,s [mm] \ge [/mm] 0 gilt:
[mm] (r+s)^3 \le 4(r^3 [/mm] + [mm] s^3) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
So habe angefangen und bin auf folgenden Ansatz gekommen
[mm] (r+s)^3 \le 4(r^3 [/mm] + [mm] s^3)
[/mm]
[mm] r^3 [/mm] + [mm] 3r^2 [/mm] s + 3r [mm] s^2 [/mm] + [mm] s^3 \le 4r^3 [/mm] + [mm] 4s^3
[/mm]
[mm] 3r^2 [/mm] s + 3r [mm] s^2 \le 3r^3 [/mm] + [mm] 3s^3
[/mm]
[mm] r^2 [/mm] s + r [mm] s^2 \le r^3 [/mm] + [mm] s^3
[/mm]
So jetzt weiss ich nicht wie ich weitermachen soll hab es mit fallunterscheidung probiert klappt aber nicht weiss nur das für s=r gleichheit gilt
Bitte um Hilfe
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:08 Do 06.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie dass für reelle Zahlen r,s [mm]\ge[/mm] 0 gilt:
> [mm](r+s)^3 \le 4(r^3[/mm] + [mm]s^3)[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
> So habe angefangen und bin auf folgenden Ansatz gekommen
> [mm](r+s)^3 \le 4(r^3[/mm] + [mm]s^3)[/mm]
>
> [mm]r^3[/mm] + [mm]3r^2[/mm] s + 3r [mm]s^2[/mm] + [mm]s^3 \le 4r^3[/mm] + [mm]4s^3[/mm]
>
> [mm]3r^2[/mm] s + 3r [mm]s^2 \le 3r^3[/mm] + [mm]3s^3[/mm]
>
> [mm]r^2[/mm] s + r [mm]s^2 \le r^3[/mm] + [mm]s^3[/mm]
>
> So jetzt weiss ich nicht wie ich weitermachen soll hab es
> mit fallunterscheidung probiert klappt aber nicht weiss nur
> das für s=r gleichheit gilt
>
> Bitte um Hilfe
denke bitte daran, Symole zwischen den Zeilen zu benutzen, damit man auch sieht, wie die in Beziehung zueinander stehen. Oben kannst Du einfach überall [mm] $\gdw$ [/mm] dazwischenschreiben.
Ich rechne einfach mal weiter:
[mm] $$\gdw [/mm] 0 [mm] \le r^3-r^2s-rs^2+s^3$$
[/mm]
[mm] $$\gdw [/mm] 0 [mm] \le r^2(r-s)-s^2(r-s)$$
[/mm]
[mm] $$\gdw [/mm] 0 [mm] \le (r^2-s^2)(r-s)\,.$$
[/mm]
Siehst Du nun noch den letzten Schritt bzw. die letzte Umformung, die die Ausgangsungleichung damit (durch Verfolgung der Pfeile [mm] $\Leftarrow$ [/mm] und lesen der obigen Zeilen von unten nach oben) dann ersichtlich macht?
Tipp:
Weil [mm] $r,s\ge [/mm] 0$ gilt auch $r+s [mm] \ge 0\,,$ [/mm] und [mm] $(r-s)^2 \ge [/mm] 0$ ist klar, weil Quadratzahlen reeller Zahlen stets [mm] $\ge [/mm] 0$ sind. Das Produkt nichtnegativer Zahlen (also Zahlen [mm] $\ge [/mm] 0$) ist eh stets [mm] $\ge 0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:16 Do 06.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> > Zeigen Sie dass für reelle Zahlen r,s [mm]\ge[/mm] 0 gilt:
> > [mm](r+s)^3 \le 4(r^3[/mm] + [mm]s^3)[/mm]
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt
> >
> > So habe angefangen und bin auf folgenden Ansatz gekommen
> > [mm](r+s)^3 \le 4(r^3[/mm] + [mm]s^3)[/mm]
> >
> > [mm]r^3[/mm] + [mm]3r^2[/mm] s + 3r [mm]s^2[/mm] + [mm]s^3 \le 4r^3[/mm] + [mm]4s^3[/mm]
> >
> > [mm]3r^2[/mm] s + 3r [mm]s^2 \le 3r^3[/mm] + [mm]3s^3[/mm]
> >
> > [mm]r^2[/mm] s + r [mm]s^2 \le r^3[/mm] + [mm]s^3[/mm]
> >
> > So jetzt weiss ich nicht wie ich weitermachen soll hab es
> > mit fallunterscheidung probiert klappt aber nicht weiss nur
> > das für s=r gleichheit gilt
> >
> > Bitte um Hilfe
>
> denke bitte daran, Symole zwischen den Zeilen zu benutzen,
> damit man auch sieht, wie die in Beziehung zueinander
> stehen. Oben kannst Du einfach über [mm]\gdw[/mm]
> dazwischenschreiben.
>
> Ich rechne einfach mal weiter:
> [mm]\gdw 0 \le r^3-r^2s-rs^2+s^3[/mm]
> [mm]\gdw 0 \le r^2(r-s)-s^2(r-s)[/mm]
>
> [mm]\gdw 0 \le (r^2-s^2)(r-s)\,.[/mm]
>
> Siehst Du nun noch den letzten Schritt bzw. die letzte
> Umformung, die die Ausgangsungleichung damit (durch
> Verfolgung der Pfeile [mm]\Leftarrow[/mm] und lesen der obigen
> Zeilen von unten nach oben) dann ersichtlich macht?
>
> Tipp:
> Weil [mm]r,s\ge 0[/mm] gilt auch [mm]r+s \ge 0\,,[/mm] und [mm](r-s)^2 \ge 0[/mm] ist
> klar, weil Quadratzahlen reeller Zahlen stets [mm]\ge 0[/mm] sind.
> Das Produkt nichtnegativer Zahlen (also Zahlen [mm]\ge 0[/mm]) ist
> eh stets [mm]\ge 0\,.[/mm]
Hallo Marcel,
was soll hier die Summe r+s und das Quadrat [mm] (r-s)^2 [/mm] ??
Zur Begründung von
0 [mm] \le (r^2-s^2)(r-s):
[/mm]
Man kan von Anfang an annehmen, dass s<r ist.
Denn ist s=r , so ist sowieso alles klar. Ist s>r, so kamm man benutzen
[mm] (r^2-s^2)(r-s)= (s^2-r^2)(s-r)
[/mm]
Gruß FRED
>
> Gruß,
> Marcel
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ok denke ich habe die aufgabe jetzt gelöst
vielen dank
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:21 Do 06.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > Hallo,
> >
> > > Zeigen Sie dass für reelle Zahlen r,s [mm]\ge[/mm] 0 gilt:
> > > [mm](r+s)^3 \le 4(r^3[/mm] + [mm]s^3)[/mm]
> > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > Internetseiten gestellt
> > >
> > > So habe angefangen und bin auf folgenden Ansatz gekommen
> > > [mm](r+s)^3 \le 4(r^3[/mm] + [mm]s^3)[/mm]
> > >
> > > [mm]r^3[/mm] + [mm]3r^2[/mm] s + 3r [mm]s^2[/mm] + [mm]s^3 \le 4r^3[/mm] + [mm]4s^3[/mm]
> > >
> > > [mm]3r^2[/mm] s + 3r [mm]s^2 \le 3r^3[/mm] + [mm]3s^3[/mm]
> > >
> > > [mm]r^2[/mm] s + r [mm]s^2 \le r^3[/mm] + [mm]s^3[/mm]
> > >
> > > So jetzt weiss ich nicht wie ich weitermachen soll hab es
> > > mit fallunterscheidung probiert klappt aber nicht weiss nur
> > > das für s=r gleichheit gilt
> > >
> > > Bitte um Hilfe
> >
> > denke bitte daran, Symole zwischen den Zeilen zu benutzen,
> > damit man auch sieht, wie die in Beziehung zueinander
> > stehen. Oben kannst Du einfach über [mm]\gdw[/mm]
> > dazwischenschreiben.
> >
> > Ich rechne einfach mal weiter:
> > [mm]\gdw 0 \le r^3-r^2s-rs^2+s^3[/mm]
> > [mm]\gdw 0 \le r^2(r-s)-s^2(r-s)[/mm]
>
> >
> > [mm]\gdw 0 \le (r^2-s^2)(r-s)\,.[/mm]
> >
> > Siehst Du nun noch den letzten Schritt bzw. die letzte
> > Umformung, die die Ausgangsungleichung damit (durch
> > Verfolgung der Pfeile [mm]\Leftarrow[/mm] und lesen der obigen
> > Zeilen von unten nach oben) dann ersichtlich macht?
> >
> > Tipp:
> > Weil [mm]r,s\ge 0[/mm] gilt auch [mm]r+s \ge 0\,,[/mm] und [mm](r-s)^2 \ge 0[/mm]
> ist
> > klar, weil Quadratzahlen reeller Zahlen stets [mm]\ge 0[/mm] sind.
> > Das Produkt nichtnegativer Zahlen (also Zahlen [mm]\ge 0[/mm]) ist
> > eh stets [mm]\ge 0\,.[/mm]
>
>
> Hallo Marcel,
>
> was soll hier die Summe r+s und das Quadrat [mm](r-s)^2[/mm] ??
>
> Zur Begründung von
>
> 0 [mm]\le (r^2-s^2)(r-s):[/mm]
>
> Man kan von Anfang an annehmen, dass s<r ist.
>
> Denn ist s=r , so ist sowieso alles klar. Ist s>r, so kamm
> man benutzen
>
> [mm](r^2-s^2)(r-s)= (s^2-r^2)(s-r)[/mm]
>
> Gruß FRED
warum so kompliziert? Es gilt doch offenbar:
[mm] $$(r^2-s^2)(r-s)=\underbrace{(r+s)}_{\ge 0}\underbrace{(r-s)^2}_{\ge 0}\,.$$
[/mm]
Darauf wollte ich hinaus. Was ist daran verkehrt?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:04 Do 06.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > > Hallo,
> > >
> > > > Zeigen Sie dass für reelle Zahlen r,s [mm]\ge[/mm] 0 gilt:
> > > > [mm](r+s)^3 \le 4(r^3[/mm] + [mm]s^3)[/mm]
> > > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > > Internetseiten gestellt
> > > >
> > > > So habe angefangen und bin auf folgenden Ansatz gekommen
> > > > [mm](r+s)^3 \le 4(r^3[/mm] + [mm]s^3)[/mm]
> > > >
> > > > [mm]r^3[/mm] + [mm]3r^2[/mm] s + 3r [mm]s^2[/mm] + [mm]s^3 \le 4r^3[/mm] + [mm]4s^3[/mm]
> > > >
> > > > [mm]3r^2[/mm] s + 3r [mm]s^2 \le 3r^3[/mm] + [mm]3s^3[/mm]
> > > >
> > > > [mm]r^2[/mm] s + r [mm]s^2 \le r^3[/mm] + [mm]s^3[/mm]
> > > >
> > > > So jetzt weiss ich nicht wie ich weitermachen soll hab es
> > > > mit fallunterscheidung probiert klappt aber nicht weiss nur
> > > > das für s=r gleichheit gilt
> > > >
> > > > Bitte um Hilfe
> > >
> > > denke bitte daran, Symole zwischen den Zeilen zu benutzen,
> > > damit man auch sieht, wie die in Beziehung zueinander
> > > stehen. Oben kannst Du einfach über [mm]\gdw[/mm]
> > > dazwischenschreiben.
> > >
> > > Ich rechne einfach mal weiter:
> > > [mm]\gdw 0 \le r^3-r^2s-rs^2+s^3[/mm]
> > > [mm]\gdw 0 \le r^2(r-s)-s^2(r-s)[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\gdw 0 \le (r^2-s^2)(r-s)\,.[/mm]
> > >
> > > Siehst Du nun noch den letzten Schritt bzw. die letzte
> > > Umformung, die die Ausgangsungleichung damit (durch
> > > Verfolgung der Pfeile [mm]\Leftarrow[/mm] und lesen der obigen
> > > Zeilen von unten nach oben) dann ersichtlich macht?
> > >
> > > Tipp:
> > > Weil [mm]r,s\ge 0[/mm] gilt auch [mm]r+s \ge 0\,,[/mm] und [mm](r-s)^2 \ge 0[/mm]
> > ist
> > > klar, weil Quadratzahlen reeller Zahlen stets [mm]\ge 0[/mm] sind.
> > > Das Produkt nichtnegativer Zahlen (also Zahlen [mm]\ge 0[/mm]) ist
> > > eh stets [mm]\ge 0\,.[/mm]
> >
> >
> > Hallo Marcel,
> >
> > was soll hier die Summe r+s und das Quadrat [mm](r-s)^2[/mm] ??
> >
> > Zur Begründung von
> >
> > 0 [mm]\le (r^2-s^2)(r-s):[/mm]
> >
> > Man kan von Anfang an annehmen, dass s<r ist.
> >
> > Denn ist s=r , so ist sowieso alles klar. Ist s>r, so kamm
> > man benutzen
> >
> > [mm](r^2-s^2)(r-s)= (s^2-r^2)(s-r)[/mm]
> >
> > Gruß FRED
>
> warum so kompliziert? Es gilt doch offenbar:
> [mm](r^2-s^2)(r-s)=\underbrace{(r+s)}_{\ge 0}\underbrace{(r-s)^2}_{\ge 0}\,.[/mm]
>
> Darauf wollte ich hinaus. Was ist daran verkehrt?
Nichts. Ich hab nicht weit genug gedacht
FRED
>
> Gruß,
> Marcel
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