Beweis von a<b gdw a^k<b^k < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm]k\in \IN [/mm] und [mm]a,b \in \IR[/mm] mit a>0 und b>0. Zeige:
[mm]a
Hinweis zu "[mm]\Leftarrow[/mm]: Widersoruchsbeweis. |
Hallo liebes Forum!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bei dieser Aufgabe fehlt mir irgendwie die zündende Idee. Bisher habe ich folgendes überlegt (was mir aber nicht alles genützt hat):
Zu "[mm]\Rightarrow[/mm]": [mm]a0\quad
a>0,b>0 \Rightarrow b-a=\left| b-a \right|[/mm].
Auf diesen Ansatz bin ich gekommen weil man dann die (umgekehrte) Dreiecksungleichung anwenden könnte und unser Professor deren Wichtigkeit nochmal betont hat.
Mein anderer Ansatz: [mm]a
Aber das geht ja irgendwie nicht, weil ich das ja eigentlich nicht wissen kann.
Beim Widerspruch weiß ich was ich annehmen soll, kann es aber auf kenen Widerspruch zurückführen.
Über einen Denkanstoß würde ich mich freuen!
LG
Angelnoir
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:47 Di 23.11.2010 | | Autor: | ilfairy |
Hallo Angelnoir!
Hattet ihr schon Beweis durch Induktion? Das wäre mein Vorschlag.
Schönen Abend noch!
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Ja da hab ich wohl den Weg vor lauter Formeln nicht gesehn...
Aber irgendwie bin ich mir mit dem Aufschreben nicht so sicher, da wir zwar Indukton hatten, aber für solche Aussagen kenne ich es nicht.
Induktionsanfang für k=1
[mm]a=a^1 < b=b^1[/mm]
Induktionsvoraussetzung: Für ein bel. k gelte: [mm]a
Induktionsschritt von k->k1
[mm]a^k0[/mm]
Und da hakt es leider. Wie füge ich das ganze jetzt zusammen? Oder ist eventuell schon etwas falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:47 Di 23.11.2010 | | Autor: | ilfairy |
Hallo!
Ich würde es so aufschreiben:
"[mm]\Rightarrow[/mm]"
Beweis per Induktion über [mm]k \in \IN[/mm]
IA.: [mm]k = 1[/mm]
[mm]a \le b \Rightarrow a^1 \le b^1[/mm] wahre Aussage
Es gelte die Aussage für ein festes, aber beliebiges [mm]k \in \IN[/mm].
IS.: [mm]k \rightarrow k+1[/mm]
[mm]a \le b \Rightarrow a^{k+1} = a^{k}*a \le b^{k}*a \le b^{k}*b = b^{k+1}[/mm]
Wobei hier die erste Abschätzung nach Induktionsvoraussetzung funktioniert ([mm]a^k \le b^k[/mm]) und die zweite aus [mm]a \le b[/mm] folgt.
Schönen Abend noch!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:29 Di 23.11.2010 | | Autor: | Angelnoir |
Vielen Dank für die schnelle Hilfe!
Jetzt wo ich es so aufgeschrieben sehe, weiß ich nicht warum ich damit so Probleme hatte.. Aber gut immerhin wird mir so eine ähnliche Aufgabe hoffentlich nie wieder Sorgen bereiten.
Schönen Abend ebenfalls ;)
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