Beweis von f(x)=x*c < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:23 Mo 21.05.2007 | | Autor: | annklo |
| Aufgabe | Für eine reelle Funktion f: [mm] \IQ \to \IQ [/mm] mit f(1)=c, c [mm] \in \IQ [/mm] gelte f(x+y)=f(x)+f(y), für alle x,y [mm] \in \IQ. [/mm] Zeigen Sie mit den folgenden Teilaufgaben: f(x)=x*c für alle x [mm] \in \IQ.
[/mm]
a) f(0)=0, f(m)=m*c, für alle m [mm] \in \IN
[/mm]
b) f(m)=m*c, für alle m [mm] \in \IZ
[/mm]
c) [mm] f(\bruch{1}{n})=\bruch{1}{n}*c, [/mm] für alle n [mm] \in \IZ [/mm] \ {0}
d) [mm] f(\bruch{m}{n})=\bruch{m}{n}*c, [/mm] für alle [mm] \bruch{m}{n }\in \IQ. [/mm] |
So, das ist die Aufgabe und nun?? Ich habe gar keine und Idee! ich weiß nur, dass man f(x)=m*c mit hilfe von a),b),c) und d) beweisen soll und zwar der Reihe nach. Wieso ist überhaupt f(x+y)=f(x)+f(y) vorausgesetzt? Wozu sollte ich das brauchen? Wie ihr seht, steh ich der Aufgabe total plan-und hilflos gegenüber-Hilfe wäre also sehr nett.
Danke schonmal
GLG
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Hallo anklo,
Nun, die Vor. $f(x+y)=f(x)+f(y)$ ist lebensnotwendig für den Beweis 
Die Beweiskette von (a) nach (d) ist induktiv aufgebaut.
Fangen wir mit (a) an:
Zunächst soll f(0)=0 sein, wieso?
Nun f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0) nach Vor. [mm] \Rightarrow [/mm] .....
Weiter sollst du zeigen, dass $f(m)=mc$ ist [mm] $\forall$ $m\in\IN$
[/mm]
Das mache per Induktion über m und nutze dabei die Vor, dass $f(1)=c$ ist
bei (b) musst du die Induktion auf [mm] \IZ [/mm] erweitern.
Mit (a) weißt du, dass $f(m)=mc$ für alle [mm] $m\in\IN$ [/mm] ist.
Was ist dann $f(-m)$?
(d) ist eine Kombination von (b) und (c)
(c) müsste auch mit Induktion gehen, aber ich sehe den Ind.schritt im Monent nicht, vllt. hat da jemand anderes noch einen Tipp
Aber mit dem Rest solltest du ein gutes Stückl vorankommen
Viel Erfolg
schachuzipus
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Hallo annklo, hallo schauzipus
> (c) müsste auch mit Induktion gehen, aber ich sehe den
> Ind.schritt im Monent nicht, vllt. hat da jemand anderes
> noch einen Tipp
Induktion braucht man eigentlich nicht, denn
[mm]c = f(1) = f(n * \bruch{1}{n}) = f(\bruch{1}{n} + ... + \bruch{1}{n}) = f(\bruch{1}{n})+...+f(\bruch{1}{n}) = n * f( \bruch{1}{n}) \Rightarrow \bruch{c}{n} = f( \bruch{1}{n}) [/mm]
LG
Karsten
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:15 Mo 21.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen
> > (c) müsste auch mit Induktion gehen, aber ich sehe den
> > Ind.schritt im Monent nicht, vllt. hat da jemand anderes
> > noch einen Tipp
>
> Induktion braucht man eigentlich nicht, denn
>
> [mm]c = f(1) = f(n * \bruch{1}{n}) = f(\bruch{1}{n} + ... + \bruch{1}{n}) = f(\bruch{1}{n})+...+f(\bruch{1}{n}) = n * f( \bruch{1}{n}) \Rightarrow \bruch{c}{n} = f( \bruch{1}{n})[/mm]
Also strenggenommen ist das ja gerade Induktion. Nur das es so offensichtlich erscheint das man es nicht genauer hinschreibt... :)
LG Felix
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Hallo felix!
> Also strenggenommen ist das ja gerade Induktion. Nur das es
> so offensichtlich erscheint das man es nicht genauer
> hinschreibt... :)
Gaaanz strenggenommen hast Du natürlich recht. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Man müßte die Induktion mit der Eigenschaft [mm]f(x+y) = f(x)+f(y)[/mm] über n Zahlen [mm]x_1,..., x_n \in \IQ[/mm] laufen lassen.
Nennen wir's mal banal-trivial-elementar.
LG
Karsten
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Di 22.05.2007 | | Autor: | annklo |
Vielen Dank für die vielen Antworten zu meiner banal-trivial-elementaren Aufgabe Konnte mit den Antworten relativ viel anfangen, will nur noch mal eben paar Rückfragen stelle,ob ich auch alles verstanden hab:
zu b) wie erweitere ich die Induktion auf [mm] \IZ?
[/mm]
muss ich einfach eine Induktion für f(-m) durchführen?
I.A.: -m=1 setzen usw
I.S.: f(-m+1)=(-m+1)*c,....
oder denk ich hier zu einfach?
zu d) [mm] f(\bruch{m}{n})= \bruch{m}{n}*c [/mm] ist das vielleicht
[mm] f(m*\bruch{1}{n}) [/mm] = [mm] f(m)*f(\bruch{1}{n})= m*c*\bruch{1}{n}*c, [/mm] dann hätte ich aber c² statt c... hab ich irgendwas übersehen?
Vielen Dank für eure Mühe schonmal.
Lg Anne
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> zu b) wie erweitere ich die Induktion auf [mm]\IZ?[/mm]
> muss ich einfach eine Induktion für f(-m)
> durchführen?
Ja also, ich würde prinzipiell mal behaupten, daß die negativen Zahlen sich (bis auf das Vorzeichen) strukturell nicht von den natürlichen Zahlen unterscheiden. Daher könnte man meines Erachtens auch einen Schritt m [mm] \to [/mm] m-1 wagen. Also folgendermaßen:
m=-1:
[mm]f(0) = f((-1)+1) = f(-1)+f(1) = f(-1) + c \gdw f(-1) = f(0)-c = 0-c = -c = (-1)*c[/mm]
[mm]m \to m-1[/mm]:
[mm]f(m-1) = f(m+(-1)) = f(m)+f(-1) = m*c-c = (m-1)*c[/mm]
> zu d) [mm]f(\bruch{m}{n})= \bruch{m}{n}*c[/mm] ist das vielleicht
> [mm]f(m*\bruch{1}{n})[/mm] = [mm]f(m)*f(\bruch{1}{n})= m*c*\bruch{1}{n}*c,[/mm]
> dann hätte ich aber c² statt c... hab ich irgendwas
> übersehen?
Es ist [mm] f(\bruch{m}{n}) = f(m * \bruch{1}{n}) = f(\bruch{1}{n}) + ... + f(\bruch{1}{n}) = m * f(\bruch{1}{n}) = m * \bruch{c}{n} = \bruch{m}{n} *c[/mm]
LG
Karsten
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Do 24.05.2007 | | Autor: | Tvenna |
Hallo- ich muss dieselbe Aufgabe lösen und ich dachte bevor ich sie nochmal ins Netz stelle "hake" ich einfach mal hier ein:
Ich habe eine Frage an Karsten:
Du hast geschrieben: "Induktion braucht man nicht, denn c=......"
Kannst du dabei den letzten Schritt einmal erläutern (hinter dem Folgepfeil)? Fehlt da nicht ein "n" ?
Das wäre super nett. Ansonsten konnte ich die Aufgabe nachvollziehen.
Noch eine Frage zu b), ich hab die vollst. Induktion noch nie mit negativen Zahlen gemacht und dreh mich dort irgendwie im Kreis..
Macht man das so:
m=-1, f(-1)=-c
für m+1:
f(-m+1)= (-m+1)*c = -mc+c = f(-m)+f(1) = f(-m+1) ??
Ich glaube ich komme mit den Minuszeichen durcheinander, oder?
Über eine Antwort würde ich mich riesig freuen!
Viele Grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:17 Do 24.05.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo Tvenna,
und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo- ich muss dieselbe Aufgabe lösen und ich dachte bevor
> ich sie nochmal ins Netz stelle "hake" ich einfach mal hier
> ein:
> Ich habe eine Frage an Karsten:
> Du hast geschrieben: "Induktion braucht man nicht, denn
> c=......"
> Kannst du dabei den letzten Schritt einmal erläutern
> (hinter dem Folgepfeil)? Fehlt da nicht ein "n" ?
> Das wäre super nett. Ansonsten konnte ich die Aufgabe
> nachvollziehen.
nein, denn ganz vorne steht das c und ganz am Schluss [mm] \red{n}*f\left(\bruch{1}{n}\right) [/mm] - teile ich nun durch n, dann gibt das:
[mm] \bruch{c}{n}=f\left(\bruch{1}{n}\right)
[/mm]
Liebe Grüße
Herby
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Hallo Tvenna!
> Noch eine Frage zu b), ich hab die vollst. Induktion noch
> nie mit negativen Zahlen gemacht und dreh mich dort
> irgendwie im Kreis..
> Macht man das so:
> m=-1, f(-1)=-c
> für m+1:
> f(-m+1)= (-m+1)*c = -mc+c = f(-m)+f(1) = f(-m+1) ??
> Ich glaube ich komme mit den Minuszeichen durcheinander,
> oder?
Naja, die Idee ist es, die Induktion für positive Zahlen nachzuahmen, nur eben mit anderem Vorzeichen. D.h. wo bei der positiven Induktion der Schritt nach m+1 gezeigt wird, muß jetzt der Schritt nach m-1 (m ist ja kleiner als 0) gezeigt werden. Speziell wäre hier also f(m-1) auszurechnen und auf f(m) zurückzuführen. Nochmal der Induktionsschritt:
[mm]f(m-1) = f(m+(-1))[/mm] (würde auch ohne diesen Schritt gehen, da
f(x+y)=f(x)+f(y) für alle [mm]x,y \in \IQ \supseteq \IZ[/mm] gilt.
Daher könnte man gleich f(m)-f(1) schreiben.)
[mm] = f(m)+f(-1)[/mm] (Linearität anwenden)
[mm]= m*c-c[/mm] (Induktionsvoraussetzung für f(m), f(-1)=-c
aus Induktionsanfang)
[mm]= (m-1)*c[/mm] (Zusammenfassen)
LG
Karsten
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:25 Do 24.05.2007 | | Autor: | Tvenna |
Vielen herzlichen Dank! Ich werde die Aufgabe nochmals rechnen, aber ich denke nun komme ich zurecht.Wenn man erst nicht weiß was man machen soll ist das echt schwierig. Also viele Dank!!
Viele Grüsse 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Di 22.05.2007 | | Autor: | annklo |
Vielen Dank... eine letzte Frage noch
wie komm ich von
>>"Zunächst soll f(0)=0 sein, wieso?Nun f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0) nach Vor.<< auf f(0)=0 ist es trivial,dass f(0)+f(0)=0??
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> wie komm ich von
> >>"Zunächst soll f(0)=0 sein, wieso?
Du warst mit Deiner Rechnung fast am Ziel. Nochmal langsam:
[mm] f(0) = f(0+0) = f(0) + f(0)[/mm], also [mm] f(0) = f(0) + f(0)[/mm]
Wenn man auf beiden Seiten einmal f(0) abzieht, steht dann nur noch 0 = f(0) da.
LG
Karsten
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Fr 25.05.2007 | | Autor: | Tvenna |
Hallo nochmal. Ich hab nun die ganzen Teilaufgaben gelöst und verstanden.
Meine Frage ist nun : Reicht das als Antwort nun aus, oder muss ich
f(x)=x*c noch irgendwie beweisen? Es ergibt sich ja aus den Teilaufgaben, aber reicht das aus?
Viele Grüsse
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> Hallo nochmal. Ich hab nun die ganzen Teilaufgaben gelöst
> und verstanden.
> Meine Frage ist nun : Reicht das als Antwort nun aus, oder
> muss ich
> f(x)=x*c noch irgendwie beweisen? Es ergibt sich ja aus den
> Teilaufgaben, aber reicht das aus?
Hallo,
eigentlich reicht das, denn in Teil d) wird ja genau die Aussage f(x)=x*c für alle x [mm] \in \IQ [/mm] bewiesen.
Wenn Du auf Nummer sicher gehen willst, kannst Du abschließend noch erwähnen, daß mit d) die Aussage bewiesen ist, da man ja für jedes [mm] x\in \IQ m,n\in \IZ [/mm] findet mit [mm] x=\bruch{m}{n}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:44 Fr 25.05.2007 | | Autor: | Tvenna |
Dankeschön!
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