Beweis zu Fibonacci-Zahlen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 Mo 30.11.2009 | | Autor: | biic |
| Aufgabe | z.z.: [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} F_{k+1} [/mm] = [mm] F_{2n+1}, [/mm] wobei [mm] F_i [/mm] die i-te Fibonacci-Zahl ist.
Als Tipp ist Binet gegeben: [mm] F_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} ((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^n [/mm] - [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^n) [/mm] . |
Hi.
Eine Induktion wird hier nicht verlangt, war aber meine erste Idee. Falls sich das als falsch/schlecht herausstellen sollte bitte ich die Mods um entsprechende Verschiebung.
Der Induktionsschritt wäre ja, zu zeigen dass
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ k} F_{k+1} [/mm] = [mm] F_{2(n+1)+1} [/mm] ist.
Ich habe dazu die Summanden für k=0 und k=n+1 aus der Summe gezogen und [mm] \vektor{n+1 \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ k - 1} [/mm] genutzt:
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ k} F_{k+1}
[/mm]
= [mm] F_1 [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k} F_{k+1} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k - 1} F_{k+1} [/mm] + [mm] F_{n+2}, [/mm] was nach Induktionsvoraussetzung gleich
[mm] F_1 [/mm] + [mm] (F_{2n+1} [/mm] - [mm] F_1) [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k - 1} F_{k+1} [/mm] + [mm] F_{n+2} [/mm] = [mm] F_{2n+1} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k - 1} F_{k+1} [/mm] + [mm] F_{n+2} [/mm] ist.
Hier sehe ich nun gar nicht, wie ich weiterkommen, auch wenn ich den Tipp nutze und die Zahlen nach Binet darstelle bringt mich das nicht weiter.
Hat hier jemand eine Idee wie es weitergeht oder sollte man das doch anders als per Induktion versuchen?
Frage ist in keinem anderen Forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:22 Di 01.12.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo,
versuch es mal so:
y[n]=y[n-1]+y[n-2]+x[n]
jetzt mit [mm] z^{-n} [/mm] multiplizieren und von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] \infty [/mm] aufsummieren und die Verschiebungsregel anwenden <-- z-Transformation.
[mm] Y(z)=\bruch{z^2}{z^2-z-1}
[/mm]
Über die Rücktransformation kommst du dann auf dein Ergebnis.
Lg
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:34 Di 01.12.2009 | | Autor: | Herby |
Hi,
und wieder einmal mmhh -- nach noch dreimaligem Lesen deiner Aufgabe ist der Vorschlag wohl nicht das Gelbe vom Ei.
Lg
Herby
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:42 Di 01.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> z.z.: [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} F_{k+1}[/mm] = [mm]F_{2n+1},[/mm]
> wobei [mm]F_i[/mm] die i-te Fibonacci-Zahl ist.
>
> Als Tipp ist Binet gegeben: [mm]F_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}} ((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^n[/mm]
> - [mm](\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^n)[/mm] .
Das sieht doch eindeutig nach dem Binomischen Lehrsatz aus: setze die explizite Formel fuer [mm] $F_n$ [/mm] in [mm] $\sum_{k=0}^n \binom{b}{k} F_{k+1}$ [/mm] ein, teile es in zwei Summen auf, ziehe das raus was man nicht braucht und wende den binomischen Lehrsatz auf die zwei Summen an.
Vielleicht kommst du ja mit dem Ergebnis weiter?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Di 01.12.2009 | | Autor: | biic |
Verdammt, das hätte ich selber sehen müssen. So geht's natürlich ohne großes Tricksen.
Danke für eure Antworten.
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