Beweis zu Hüllensystem < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Folgender Beweis ist zu führen:
Für eine beliebige Menge A ist die Menge aller Äquivalenzrelationen ein Hüllensystem.
Also, ein Hüllensystem ist wenn A eine Menge, und h [mm] \subseteq [/mm] p(A) ist. Dann ist h ein Hüllensystem auf A, falls [mm] \wedge [/mm] B [mm] \in [/mm] h gilt für jede Teilmenge B aus h.
Kein Plan was das nun aussagt und wie der Beweis geführt werden soll.
Gruß Antiprofi
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Grüße!
Naja, das ist eigentlich ganz einfach. 
Eine beliebige Relation auf einer Menge $A$ kann man ja als Teilmenge von $A [mm] \times [/mm] A$ also der Menge aller Paare auffassen: ein Paar $(a,a') [mm] \in [/mm] A [mm] \times [/mm] A$ ist genau dann in dieser Teilmenge, wenn sie in Relation stehen.
Wenn eine Relation bestimmte Eigenschaften erfüllt (Reflexivität, Symmetrie und Transitivität), dann heißt sie Äquivalenzrelation. Ist $R [mm] \subset [/mm] A [mm] \times [/mm] A$ eine Äquivalenzrelation auf $A$ gilt also:
i) $(a,a) [mm] \in [/mm] R$ für jedes $a [mm] \in [/mm] A$
ii) Falls $(a,b) [mm] \in [/mm] R$, so folgt $(b,a) [mm] \in [/mm] R$
iii) Falls $(a,b) [mm] \in [/mm] R$ und $(b,c) [mm] \in [/mm] R$, so folgt $(a,c) [mm] \in [/mm] R$
Sei nun also $h [mm] \subseteq \mathcal{P}(A \times [/mm] A)$ die Menge der Äquivalenzrelationen. Beachte, dass Du hier nicht die Potenzmenge von $A$, sondern die von $A [mm] \times [/mm] A$ nehmen musst, weil eine Relation ja immer eine Teilmenge von dieser Menge ist!
Um zu zeigen, dass $h$ ein Hüllensystem ist, musst Du also folgendes machen: nimm ein beliebiges System $B [mm] \subseteq [/mm] h$, also eine Menge von Äquivalenzrelationen und bilde dann $R := [mm] \bigcap [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \times [/mm] A$, d.h. eine neue Relation, für die gilt: $(a,b) [mm] \in [/mm] R [mm] \iff [/mm] (a,b) [mm] \in [/mm] S$ für jedes $S [mm] \in [/mm] B$. Mit anderen Worten: ein Paar $(a,b)$ steht genau dann in der neuen Relation $R$, wenn es bezüglich jeder der Relationen aus $B$ in Relation steht.
Zu zeigen ist nun lediglich: $R$ ist eine Äquivalenzrelation... das ist aber wirklich nicht schwer. Viel Erfolg!
Lars
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