Beweis zur RNF < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:45 Mi 09.08.2006 | | Autor: | neli |
| Aufgabe | Als erstes berechnen wir das Minimalpolynom [mm] P_1 [/mm] von A und einen Vektor x mit [mm] P_1 [/mm] = µA,x. Sei im folgenden [mm] p_i [/mm] der Grad der
teilweise noch zu bestimmenden [mm] P_i. [/mm] Wir definieren eine erste Transformationsmatrix
[mm] T_1 [/mm] durch Angabe der zugehörigen Spaltenvektoren, indem wir die linear
unabhängigen Spalten x, Ax, . . . , [mm] A^{p_1-1}x [/mm] zu einer Basis von [mm] k^n [/mm] ergänzen. Die konjugierte Matrix [mm] A_1 [/mm] = [mm] T_{1}^{-1}* A*T_1 [/mm] ist dann die Darstellungsmatrix der durch A definierten linearen Abbildung bezüglich der Spalten von [mm] T_1 [/mm] , hat also per Konstruktion die obere Blocktrigonalgestalt
[mm] \pmat{ B(P_1) & B_2 \\ 0 & B_4 }
[/mm]
Beim Einsetzen dieser Matrix in [mm] P_1 [/mm] erhält man immer noch die Nullmatrix,
weshalb das Minimalpolynom [mm] P_2 [/mm] von [mm] B_4 [/mm] ein Teiler von [mm] P_1 [/mm] ist. Per Induktion nach n haben wir bereits zu [mm] B_4 [/mm] eine invertierbare Matrix
[mm] T_{2_0} [/mm] mit [mm] n-p_1 [/mm] Zeilen gefunden, derart dass
[mm] T_{2_0}^{-1}B_4T_{2_0} [/mm] eine rationale Normalform ist der Form
[mm] \pmat{ B(P_2) & 0 & ... & 0 \\ 0 & B(P_3) & ... & 0 \\ ... & 0 & ... & 0 \\ 0 & ... & ... & B(P_r)}
[/mm]
setzt mann [mm] T_2 [/mm] = [mm] \pmat{ E_{p_1} & 0 \\ 0 & T_{2_0} } [/mm] so ist
[mm] T_{2}^{-1}*A_1*T_2 [/mm] =
[mm] \pmat{ B(P_1) & C_2 & ... & C_r \\ 0 & B(P_2) & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & ... & ... & B(P_r) }
[/mm]
Wir werden anschließend noch durch einen geeigneten Koordinatenwechsel die Matrizen [mm] C_i [/mm] in der ersten Zeile zum Verschwinden bringen, kennen aber jetzt schon die RNF zu A.
Für jeden Index i [mm] \le [/mm] 2 sei [mm] v_i [/mm] der kanonische Basisvektor mit dem Index
[mm] p_1 [/mm] + [mm] p_2 [/mm] + . . . + [mm] p_{i-1} [/mm] + 1 und es sei [mm] v_1 [/mm] = [mm] e_1. [/mm]
Dann ist [mm] A_{2}^j*v_1 [/mm] = [mm] e_{j+1} [/mm] für j < [mm] p_1.
[/mm]
Ferner ist [mm] P_i(A_2)v_i [/mm] gerade die Spalte von [mm] P_i(A_2) [/mm] mit Index [mm] p_1 [/mm] + [mm] p_2 [/mm] + . . . [mm] +p_{i-1} [/mm] + 1. Nur die ersten [mm] p_1 [/mm] Koeffizienten davon sind eventuell nicht Null. Also ist [mm] P_i(A_2)v_i [/mm] = [mm] H_i(A_2)v_1 [/mm] für ein eindeutig bestimmtes Polynom [mm] H_i [/mm] vom Grad höchstens [mm] p_{1}- [/mm] 1. Da [mm] P_2 [/mm] und damit alle [mm] P_i [/mm] ein Teiler des Minimalpolynoms [mm] P_1 [/mm] sind, gibt es Polynome [mm] R_i [/mm] mit [mm] P_1 [/mm] = [mm] P_iR_i. [/mm] Daraus ergibt sich
0 = [mm] P_1(A_2)v_i [/mm] = [mm] (R_iP_i)(A_2)v_i [/mm] = [mm] (R_iH_i)(A_2)v_1.
[/mm]
Deshalb ist [mm] P_1 [/mm] = [mm] µA_2,v_1 [/mm] ein Teiler von [mm] R_iH_i, [/mm] also [mm] H_i [/mm] = [mm] P_iS_i. [/mm]
Setze jetzt [mm] w_i [/mm] = [mm] v_i [/mm] - [mm] S_i(A_2)v_1 [/mm] für i = 2, 3, . . . , r.
Nach Konstruktion ist dann jeweils [mm] P_i(A_2)w_i [/mm] = 0. Ferner ist die Matrix [mm] T_3 [/mm] mit Spalten [mm] v_1, A_2v_1, [/mm] . . . , [mm] A_{2}^{p_1 - 1}v_1, w_2, A_2w_2, [/mm] . . . , [mm] A^{p_2 - 1}_{2}w_2, [/mm] . . . , [mm] w_r, A_2w_r, [/mm] . . . , [mm] A^{p_r - 1}_{2}w_r
[/mm]
eine obere Dreiecksmatrix mit lauter Einsen auf der Diagonalen, also invertierbar. [mm] T^{-1}_{3}A_{2}T_3 [/mm] ist dann die gesuchte rationale Normalform |
Wir haben in der Vorlesung die RNF auf diese Weise beweisen.
Nun habe ich mir den Beweis noch mal genau angeguckt, um micht auf die Prüfung vorzubereiten und ein paar Sachen nicht verstanden.
Das was mir am meisten Probleme bereitet ist die Frage, warum [mm] P_1=\mu_A [/mm] = [mm] \mu_{A_2} [/mm] auch [mm] \mu_{A_2,v_1} [/mm] sein sollte.
Das müsste doch dann eigentlich heißen, dass [mm] \mu_A [/mm] immer gleich [mm] \mu_{A,e_1} [/mm] wäre und das ist doch falsch!
dann habe ich noch ein kleines verständniss Problem, warum [mm] T_3 [/mm] die [mm] C_i [/mm] zu Null macht. Also der erste Teil von [mm] T_3 [/mm] besteht ja aus der Einheitsmatrix von Format [mm] p_1, [/mm] so dass sich da nichts ändert, weil der Teil ja so bleiben kann. des weiteren sind die [mm] w_i [/mm] ja quasi so konsturiert, dass sie an der Stelle [mm] p_{i-1}+1 [/mm] immer die 1 stehen haben also quasi wenn man den oberen Teil über dem Kästchen [mm] B(P_i) [/mm] ignorieren würde so etwas wie der erste Einheitsvektor sind, dort also auch alles gleich lassen und nur in den oberen [mm] p_1 [/mm] Zeilen etwas ändern (es soll ja auch nur da etwas geändert werden) Ich verstehe allerdings nicht genau wiso das mit der Deffinition klappt
würde mich freuen wenn mir das jemand erklären könnte
danke im Voraus
Neli
Sorry habe den Fehler jetzt gefunden
habe fälschlicherweise angenommen [mm] \mu_{A_{2},v_{1}} [/mm] wäre gleich [mm] \mu_{A,v_{1}} [/mm] was allerdings nicht stimmen muss
so ist mir der Teil jetzt klar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Sa 09.09.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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