Beweis zur Teilbarkeit < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 Mo 28.03.2005 | | Autor: | Xath |
Hallo !
Ich soll beweisen, dass [mm] n^{5} [/mm] - [mm] 20n^{3} [/mm] + 64n stets durch 15 teilbar ist.
Ich habe es schon versucht, komm aber nicht weiter.
15*(1/15 [mm] n^{5} [/mm] - 20/15 [mm] n^{3} [/mm] + 64/15 n)
dann wollte ich versuchen zu beweisen, dass der Faktor in der Klammer immer ganzzahlig ist für gerade und ungerade natürliche Zahlen, doch das ist er leider nicht. Wo ist mein Fehler?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:24 Mo 28.03.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Xath!
Vielleicht könntest du kurz sagen, was ihr denn in letzter Zeit im Unterricht gemacht habt - vielleicht sogar schon ähnliche Beweise?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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Hi, Xath,
zunächst mal ist es nicht allzu schwer, zu zeigen, dass sich der Term in Linearfaktoren zerlegt werden kann:
[mm] n^{5} [/mm] - [mm] 20n^{3} [/mm] + 64n = n*(n+2)*(n-2)*(n+4)*(n-4).
Dann gibt's 3 Möglichkeiten dafür, dass Teilbarkei durch 15 vorliegt: einer der 5 Faktoren ist selbst schon 15 teilbar oder
einer der Faktoren ist durch 3, ein zweiter durch 5 teilbar sein.
Nun meine Idee: Vielleicht geht's mit vollst. Induktion?
(1) Für n=1 ist (n+2)=3 und (n+4) = 5, daher der Term durch 3*5=15 dividierbar.
(2) Schritt von n auf n+1:
[mm] z_{n} [/mm] = n*(n+2)*(n-2)*(n+4)*(n-4) ist also durch 15 teilbar.
[mm] z_{n+1} [/mm] = (n+1)*(n+3)*(n-1)*(n+5)*(n-3) aus?
Angenommen,
(1) n ist durch 15 teilbar, dann ist (n+3) durch 3 und (n+5) durch 5 teilbar und somit [mm] z_{n+1} [/mm] durch 15 teilbar.
(2) (n+2) ist durch 15 teilbar, dann ist (n+5) durch 3 teilbar und (n-3) durch 5, somit ...
usw.
Du musst also alle Kombinationen durchrechnen!
Das ist zwar aufwändig, aber mir fällt im Moment nix Besseres ein!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:59 Di 29.03.2005 | | Autor: | leduart |
> Hallo !
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> Ich soll beweisen, dass [mm]n^{5}[/mm] - [mm]20n^{3}[/mm] + 64n stets durch
> 15 teilbar ist.
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> Ich habe es schon versucht, komm aber nicht weiter.
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> 15*(1/15 [mm]n^{5}[/mm] - 20/15 [mm]n^{3}[/mm] + 64/15 n)
>
> dann wollte ich versuchen zu beweisen, dass der Faktor in
> der Klammer immer ganzzahlig ist für gerade und ungerade
> natürliche Zahlen, doch das ist er leider nicht. Wo ist
> mein Fehler?
Hallo Xath
Eigentlich kein Fehler aber schwierig.
Du hast 2 Möglichkeiten:
Falls du sowas schon gemacht hast vollständige Induktion. dann solltest du die ursprüngliche Darstellung benutzen, n=1 zeigen und von nrichtig auf n+1 richtig schließen. oder du schreibst deine Formel wie Zwerglein gezeigt hat um
und zeigst,dass einer der Faktoren von n*(n+2)*(n-2)*(n+4)*(n-4) immer durch 3 oder 5 oder 15 teilbar ist. Dabei gibt es einige Fallunterscheidungen:
a) n durch 15 teilbar-- fertig.
b)n durch 5 tb nicht durch 3 dann lässt n beim Teilen durch 5 den Rest 1 oder 2. deshalb ist n-2 oder n+2 durch 3 teilbar.--- fertig
c) n durch 3 tb, nicht durch 5 lässt Rest 1,2,3 oder 4 dann ist einer der anderen Faktoren durch 5 tb
d) n weder durch 3 noch durch 5 tb weiter wie in b und c.
Das musst du nur genauer aufschreiben. Wenn du willst kontrolliert jemand dein Ergebnis.
Viel Erfolg! Gruss leduart
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