Beweis zur gleichmäßigen K. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi, habe hier so eine Aufgabe:
Seinen [mm] f_n:[0,1] \to [/mm] IR für n [mm] \in \IN, [/mm] so dass [mm] {f_n(x)} [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] [0,1] eine monoton fallende Folge ist, die gegen 0 konvergiert. Beweisen Sie, dass die Folge [mm] {f_n} [/mm] gleichmäßig auf [0,1] konvergiert.
Also die Lösungen die ich gesehen habe, sind bisschen komisch. Will mal fragen, wie ihr meine Lösung findet oder ob die falsch ist.
Ich soll ja gleichmäßige Konvergenz zeigen. Ich habe mir einfach gedacht, da die Folge ja monoton fällt und gegen 0 Konvergiert, ist die Grenzfunktion der Folge: f(x)=0. damit konvergiert sie punktweise gegen 0 auf dem intervall [0,1]. da wir es hier mit einem beschränkten intervall zu tun haben, die funktion außerdem auf dem intervall punkweise konvergiert, impliziert dies die gleichmäßige stetigkeit.
man könnte ja auch noch sup x [mm] \in [/mm] [0,1] [mm] |f_n(x) [/mm] - f(x)|=sup x [mm] \in [/mm] [0,1] [mm] |f_n(x) [/mm] - 0| betrachten und dies geht gegen null für n gegen unendlich.
ist das so nicht ok??
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:06 Do 10.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, dein Beweis reicht nicht. Du hast nicht benutzt, dass die Folge FÜR ALLE x
monoton ist.
nimm [mm] f_n(x)=\bruch{n^2*x}{1+n^4x^4} [/mm] in [0,1] fn gegen 0 punktweise aber nicht monoton (setz x=1/n)
Gruss leduart
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aber wieso, wenn die folge monoton fallend ist, und gegen 0 konvergiert für alle x, dann ist doch die grenzfunktion 0.
und der rest ist wie oben beschrieben. abgeschlossenes intervall, punktweise konvergenz [mm] \Rightarrow [/mm] gleichmäßige konvergenzs. wo ist denn mein denkfehler?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Do 10.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich hab dich wohl mit meinen anderen posts auf nen falschen Weg geführt. 0 ist hier ein "kritischer" Punkt. du könntest ja genausogut f(1/x) in [mm] [1,\infty) [/mm] ansehen:
da heisst das mit dem abg. Intervall war bei meinen posts so allgemein nicht richtig!
Sieh dir mal die fkt an, die ich dir geschrieben hab.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:30 Do 10.04.2008 | | Autor: | jaruleking |
ja ok, danke erstmal.
gruß
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Hallo zusammen!
Ich habe mit der Aufgabe ein weiteres Problem. Betrachten wir einmal folgende Funktionenfolge auf [0, 1]
[mm] $$f_n(x)=\begin{cases} x^n, & \mbox{für } x \in [0,1) \\ 0, & \mbox{für } x = 1 \end{cases}$$
[/mm]
Wenn ich jetzt keinen Fehler mache, erfüllt die obige Funktion alle Vorraussetzungen, konvergiert aber nicht gleichmäßig gegen die Nullfunktion.
Anscheinend braucht man also die Stetigkeit von [mm] $f_n [/mm] \ [mm] \forall [/mm] n$ als zusätzliche Voraussetzung.
Ich habe es einmal als Frage gepostet, um eine weitere Meinung dazu zu erhalten 
Gruß,
Stephan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:28 Sa 12.04.2008 | | Autor: | MacMath |
[mm] x^n [/mm] konvergiert für [mm] x=1\in[0,1] [/mm] nicht gegen 0 ;)
An deinem Beispiel lässt sich also erkennen, dass die zu beweisende Aussage für offen Intervalle i.A. nicht richtig bleibt
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Hallo Daniel!
Danke für deine Antwort. Deshalb habe ich doch für $x = 1$ einen zweiten Fall gemacht! Oder reden wir vollständig aneinander vorbei?
Gruß,
Stephan
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 11:32 Sa 12.04.2008 | | Autor: | MacMath |
Ja ignorant überlesen *g* ich schieb es auf die Uhrzeit.
Hast natürlich absolut Recht, mein Beitrag ist nichtig
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 Sa 12.04.2008 | | Autor: | MacMath |
Hab nochmal drüber nachgedacht, es würde Sinn machen die Stetigkeit zu fordern, da die Gültigkeit ohne Stetigkeit soweit ich das sehe Äquivalent zur Gültigkeit auf offenen Intervallen ist, mit kompletter Analogie zu deinem Beispiel: Ergänze die Ränder des offenen Intervalls mit trivial den Bedingungen genügenden Werten, dann ist das Intervall kompakt und das Problem des offenen Intervalls noch da
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Satzes von Dini