Beweise < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 Mo 25.05.2009 | | Autor: | Foster |
| Aufgabe | Die m*n-Matrizen A, B und C seinen linear unabhängig.
Zeigen Sie:
a) m + n > 3
b) Die Matrizen A+B, A+C und B+C sind linear unabhängig. |
Es fällt mir total schwer Beweise zu erstellen. Wenn ich Zahlen einsetzt, dann finde ich es einfacher, aber wie kann ich hier den Beweis machen?
Ich hoffe mir kann Jemand weiter helfen.
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> Die m*n-Matrizen A, B und C seinen linear unabhängig.
> Zeigen Sie:
>
> a) m + n > 3
> b) Die Matrizen A+B, A+C und B+C sind linear unabhängig.
> Es fällt mir total schwer Beweise zu erstellen. Wenn ich
> Zahlen einsetzt, dann finde ich es einfacher, aber wie kann
> ich hier den Beweis machen?
Also: Du hast 3 linear unabhängige Matrizen A,B,C. D.h.: Wenn Du [mm]k_1,k_2,k_3[/mm] aus dem Körper, aus dem die Matrizenelemente stammen, hast so dass [mm] k_1A +k_2B +k_3C[/mm] die Nullmatrix ist, dann sind [mm]k_1,k_2,k_3=0[/mm]. Das ist die Voraussetzung.
Wenn Du jetzt eine Linearkombination mit den Matrizen [mm] A+B, A+C, B+C[/mm] bildest, dann kannst du sie zu einer Linearkombination aus [mm] A,B,C[/mm] umformen:
[mm]0 =k_1'(A+b)+k_2'(A+C)+k_3'(B+C) =(k_1'+k_2')A +(k_1' +k_3')B +(k_2'+k_3')C[/mm]. Jetzt mußt Du nur noch zeigen, daß aus [mm] \begin{array} 0&= k_1'&+k_2' \\
0&=k_1'&+k_3' \\
0 & k_2'&+k_3' \end{array}[/mm], dass [mm]k_1', k_2', k_3'=0[/mm] sind.
Gruß
zahlenspieler
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:55 Di 26.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Zu a): Nimm doch mal an, es sei m+n [mm] \le [/mm] 3
Welche Dimension hat dann der Raum der mxn-Matrizen höchstens ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 So 31.05.2009 | | Autor: | Foster |
Leider verstehe ich nicht so ganz was ich hier machen muß?
Warum muß denn m + n > 3 sein? Ich kann doch auch m + n < 3 haben und die 3 MAtrizen sind trotzdem linear unabhängig. Oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:26 So 31.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Der Raum M aller mxn Matrizen hat die Dimension mn
Wäre m+n [mm] \le [/mm] 3,so wäre (n=1 und m= 2) oder (n=2 und m=1), also dimM = 2. M enthällt aber 3 linear unabh. Matrizen
Widerspruch
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 So 31.05.2009 | | Autor: | Foster |
Also kann man grundsätzlich sagen, das die Anzahl der linerar unabhängigen Vektoren gleichzeitig die Diemension bestimmt. Also bei 3 Vektoren > 3 und bei 4 Vektoren > 4 usw. ?
Wie kann ich den Aufgabenteil b) nachweisen, ohne ein Beispiel zu geben?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:55 So 31.05.2009 | | Autor: | Foster |
in dem ich wie Zahlenspieler die Matrix passend zu k1,k2,k3
aufstelle und gleich dem Nullvektor setze?
Das wäre dann:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0}
[/mm]
und mit Gauß berechnet:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0}
[/mm]
folglich ist k1 ? k2 = k3 = 0 und damit linear unabhängig.
Ist das so richitg?
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Hallo Foster,
> in dem ich wie Zahlenspieler die Matrix passend zu
> k1,k2,k3
> aufstelle und gleich dem Nullvektor setze?
Nein, so geht es nicht. Wie ich ja schon schrieb, kannst Du aber ein Gleichungssystem 'aufstellen' und das kannst Du dann mit Gauß, einsetzen oder wie immer lösen.
>
> Das wäre dann:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0}[/mm]
>
> und mit Gauß berechnet:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0}[/mm]
>
> folglich ist k1 ? k2 = k3 = 0 und damit linear unabhängig.
> Ist das so richitg?
Woher hast Du jetzt die oben stehende Matrix? Und was ist da linear unabhängig?
Gruß
zahlenspieler
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> Wie kann ich den Aufgabenteil b) nachweisen, ohne ein
> Beispiel zu geben?
Hallo,
der Weg zum Glück führt immer über die Kenntnis der Definitionen.
Lies Dir jetzt mal durch, wie lineare Unabhängigkeit definiert ist. (Tu's wirklich.)
Dann wirst Du sehen, daß Du die Gleichung
$ 0 [mm] =k_1'(A+b)+k_2'(A+C)+k_3'(B+C) [/mm]
aufstellen mußt, was Dir zahlenspieler vor knapp einer Woche in seiner ersten Antwort bereits gesagt hat.
Was willst Du nun herauskriegen?
Wenn Du das weißt, sortiere (wie zahlenspieler) um: $ 0 [mm] =k_1'(A+b)+k_2'(A+C)+k_3'(B+C) =(k_1'+k_2')A +(k_1' +k_3')B +(k_2'+k_3')C [/mm] $,
und nun überlege, was aus der vorausgesetzten Unabhängigkeit von A,B,C folgt.
Gruß v. Angela
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