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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:41 Do 23.10.2008 | | Autor: | urock |
| Aufgabe | | $ [mm] B=B\cup [/mm] A [mm] \gdw B\supseteq [/mm] A $ |
Hi, das ist mein erster post in diesem Forum also habt bitte nachsicht mit schusseligkeiten o.ä. :)
Bin jetzt eine Woche im Studium und werde schon von Mathe überrumpelt.
Also der Sachverhalt ist mir klar, allerdings weiss ich nicht wie ich es beweisen kann. Ich hab es mit ner Wahrheitstafel probiert, aber irgendwie komme ich nicht auf ein zufriedenstellendes Ergebnis.
Ich hab ein paar Ansätze aber irgendwie fehlt es mir am grundlegenden verständnis wie Beweise aufgebaut sind. Weil die Aussage da oben sieht einfach logisch aus :D.
Beide Seiten der Formel beschreiben ja eigentlich nur, dass die Menge A kleiner und eine Teilmenge der Menge B ist.
Danke für die Hilfe, ich hoffe ich hab nicht gegen irgendwelche Regeln verstossen :)
lg, urock
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> [mm]B=B\cup A \gdw B\supseteq A[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wegen des Äquivalenzpfeiles sind hier zwei Aussagen zu beweisen
1. [mm] B=B\cup [/mm] A ==> [mm] A\subseteq [/mm] B
und
2. [mm] A\subseteq [/mm] B ==> [mm] B=B\cup [/mm] A.
Das Handwerkszeug für den Beweis sind die Definitionen der Gleichheit von Mengen, die Def. für Teilmenge und Vereinigung. Ich gehe davon aus, daß Ihr die aufgeschrieben oder sonstwie vorliegen habt.
Zu 1.
Die Voraussetzung ist [mm] B=B\cup [/mm] A.
Das bedeutet, daß jedes Element, welches in B liegt, auch in [mm] B\cup [/mm] A ist (was wirklich keine besonders interessante Sache ist) und umgekehrt (was interessant, weil nicht selbstverständlich, ist.)
Unter dieser Voraussetzung ist zu zeigen: [mm] A\subseteq [/mm] B, d.h.
[mm] x\in [/mm] A ==> [mm] x\in [/mm] B
Beweis:
Sei x [mm] \in [/mm] A.
(Nun muß man eine Argumentationskette aufbauen, an deren Ende [mm] x\in [/mm] B steht.
Dann liegt x erst recht in der Vereinigung der beiden Mengen.)
==>...
==>...
==>
Wenn Du das hast, kannst Du Dich ja auch schonmal an der Richtung 2. versuchen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Do 23.10.2008 | | Autor: | urock |
Also, irgendwas fehlt mir noch an informationen weil ich komm nicht weiter, ich glaub mein problem ist weniger die kreative vorstellungskraft sondern eher das nicht vorhanden sein von grundkenntnissen wie und was man mit so sachen machen darf und was nicht.
hier ist mal mein gedanken gang:
[mm]B=B \cup A \Rightarrow A\subsetB
x sei \in A
B=B \cup A \Rightarrow A \subset B
B=: x \in A \vee x \in B \Rightarrow x \in A \wedge x \in B
[/mm]
Der hintergedanke den ich hatte war einfach erstmal x [mm] \in [/mm] B und x [mm] \in [/mm] A in die formel zu kriegen. Jetzt ist mein problem das ich nicht weiss was ich überhaupt machen soll/kann/darf...
naja, ihr wisst wahrscheinlich besser als ich was mir genau fehlt, bin für jeden tipp/feedback dankbar den ihr mir zu dieser aufgabe oder zu irgendwas gebt was mich in sachen mathe weiterbringt.
danke Angela für die schnelle hilfe
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> Also, irgendwas fehlt mir noch an informationen weil ich
> komm nicht weiter, ich glaub mein problem ist weniger die
> kreative vorstellungskraft sondern eher das nicht vorhanden
> sein von grundkenntnissen wie und was man mit so sachen
> machen darf und was nicht.
>
> hier ist mal mein gedanken gang:
>
> [mm]B=B \cup A \Rightarrow A\subsetB
x sei \in A
B=B \cup A \Rightarrow A \subset B
B=: x \in A \vee x \in B \Rightarrow x \in A \wedge x \in B
[/mm]
>
> Der hintergedanke den ich hatte war einfach erstmal x [mm]\in[/mm] B
> und x [mm]\in[/mm] A in die formel zu kriegen. Jetzt ist mein
> problem das ich nicht weiss was ich überhaupt machen
> soll/kann/darf...
Hallo,
nur damit es kein Durcheinander gibt:
Du möchtest folgendes beweisen:
1. $ [mm] B=B\cup [/mm] $ A ==> $ [mm] A\subseteq [/mm] $ B .
[mm] B=B\cup [/mm] A [mm] \text{ist die Voraussetzung, zu zeigen ist dann } A\subseteq [/mm] B.
Also muß man nachweisen, daß jedes Element, welches in A liegt, auch in B liegt.
Beweis:
Sei [mm] x\in [/mm] A.
(Du merkst oben richtig an, daß man nun irgendwie B ins Spiel bekommen muß.)
==> [mm] x\in [/mm] A oder [mm] x\in [/mm] B (wenn x in A ist, ist das sicher richtig.)
==> [mm] x\in [/mm] .... (welche Menge ist das, in der alle Elemente liegen, die in A oder B sind.
Und dann kommt die Voraussetzung ins Spiel.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Do 23.10.2008 | | Autor: | urock |
also entweder reden wir aneinander vorbei oder ich bin noch schlechter als ich gedacht habe.
die menge in der alle x sind die in a oder b sind heisst: A [mm] \vee [/mm] B bzw nur B Aber das ist doch noch nicht der ganze beweis, oder?
oah ich werde heut abend nicht gut schlafen :P
danke fuer die hilfe, nochmal, ich geb mir auch wirklich muehe :)
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> also entweder reden wir aneinander vorbei oder ich bin noch
> schlechter als ich gedacht habe.
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> die menge in der alle x sind die in a oder b sind heisst: A
> [mm]\vee[/mm] B
Ja. das ist die Vereinigungsmenge [mm] A\cup [/mm] B.
Wir haben also
[mm] x\in [/mm] A
==>
[mm] x\in A\cup [/mm] B=B (denn nach Voraussetzung ist [mm] A\cup [/mm] B=B)
Und damit ist diese Richtung in der Tat fertig.
bzw nur B Aber das ist doch noch nicht der ganze
> beweis, oder?
Doch. Für die Richtung 1. ja.
Ist doch alles gut begründet? Was gefällt Dir nicht?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:46 Fr 24.10.2008 | | Autor: | urock |
naja im prinzip nichts, es ist nur so kurz und irgendwie hat man sich das ja nicht hergeleitet sondern einfach nur aufgeschrieben :I
wäre die andere seite nicht dann genau so? weil man braucht ja eigentlich die selben bedingungen.
[mm]
sei x [mm] \in [/mm] A
zu zeigen B [mm] \cup [/mm] A = B
x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B = B
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> naja im prinzip nichts, es ist nur so kurz und irgendwie
> hat man sich das ja nicht hergeleitet sondern einfach nur
> aufgeschrieben :I
>
> wäre die andere seite nicht dann genau so? weil man braucht
> ja eigentlich die selben bedingungen.
Hallo,
diese Aufgaben sind sehr einfach zu beweisen, die Aussagen sind so völlig sonnenklar - und genau das macht sie aber auch so schwierig: weil sie so klar sind, neigt man dazu, Voraussetzungen, das zu Zeigende, allgemeine Lebenserfahrung und die Gesamtaussage zu vermischen.
Du sollst an diesen Aussagen, die rechentechnisch/mathematisch sehr geringe Ansprüche stellen, die Arbeitsweise lernen.
> sei x [mm]\in[/mm] A
> zu zeigen B [mm]\cup[/mm] A = B
> x [mm]\in[/mm] A [mm]\cup[/mm] B = B
Zu dieser Arbeitsweise gehört, alles genau aufzuschreiben.
Wie heißt es so schön? Genies überblicken das Chaos - leider (oder besser: natürlich!) stellen die allermeisten von uns spätestens nach 4 Wochen Studium fest, daß, sofern überhaupt irgendeine Genialität vorliegt, diese nicht auf dem Gebiet der Mathematik angesiedelt ist...
Sei also nett zu Dir selbst und hilf Dir ein bißchen.
Was möchtest Du jetzt beweisen? Schreib die Behauptung auf. (Und schreib dazu, daß das die Behauptung ist.)
Was wird vorausgesetzt? Aufschreiben.
Was ist zu zeigen? Hinschreiben.
Über das zu Zeigende muß man sich nun ein bißchen Gedanken machen.
Du willst ja in diesem Aufgabenteil zeigen, daß B=B [mm]\cup[/mm] A ist.
Was ist dafür zu tun?
Wir haben hier eine Mengengleichheit zu zeigen.
Zu zeigen sind also zweierlei Dinge:
i. [mm] B\subseteq B\cup [/mm] A, d.h. aus [mm] x\in [/mm] B folgt [mm] x\in B\cup [/mm] A
ii. [mm] B\cup [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] B, d.h. aus [mm] x\in B\cup [/mm] A folgt [mm] x\in [/mm] B
Wenn diese Vorearbeiten geleistet sind, kann es losgehen mit dem Beweis. Der ist dann in der Tat sehr kurz und einfach.
Gruß v. Angela
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