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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:06 Di 03.05.2011 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Gegeben seien a,b [mm] \in \IZ. [/mm] Betrachten wir die Z-Untermoduln A :=<a> und
B :=<b> von [mm] \IZ. [/mm] Beweisen Sie, dass
a) A+B=<ggT(a,b)>
b) A [mm] \cap [/mm] B = <kgV(a,b)> |
Hallo.
Habe hier die a) versucht und folgendes gemacht. Geht das denn so (?):
<ggT(a,b)>
= <ka+lb> für k,l [mm] \in \IZ
[/mm]
= {s * (ka+lb) | s [mm] \in \IZ}
[/mm]
= {ska+slb | s [mm] \in \IZ}
[/mm]
So, und sk sowie sl sind wieder in [mm] \IZ
[/mm]
= <a,b>
Kann man das so machen?
Bei der b) würde ich das ähnlich machen, nur komm ich grad mit dem kgV nicht klar. Kann mir da jemand helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:46 Di 03.05.2011 | | Autor: | wieschoo |
Nur kurz. Da ich gleich weg bin.
Die Idee passt schon allerdings ist das nicht schön formal aufgeschrieben.
Die Summe zweier Moduln ist doch
[mm]A+B=\{a+b\quad | \quad a\in A,b\in B\}[/mm]
ggT(a,b) = c = sa+tb. und das liegt in $A+B$.
Meines erachtens hast du gezeigt:
$<ggT(a,b)> [mm] \subseteq [/mm] A+B$
andere Richtung?
ohne Garantie
Vielleicht hilft dir [mm] $kgV(a,b)=\frac{a*b}{ggT(a,b)}$. [/mm] Allerdings weiß ich noch nicht ob das viel weiter hilft, da wir in Ringen sind und allgemein keine Inversen existieren.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:03 Di 03.05.2011 | | Autor: | SEcki |
> <ggt(a,b)>
>
> = <ka+lb> für k,l [mm]\in \IZ[/mm]
Wenn du weisst, dass es k,l gibt mit [m]ggt(a,b)=ka+lb[/m].
> So, und sk sowie sl sind wieder in [mm]\IZ[/mm]
>
> = <a,b>
Nein. Wieso sollte das so gelten? Deine Zahlen sind nicht beliebig! Du hast nur [m]\subset[/m] gezeigt.
SEcki
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:19 Di 03.05.2011 | | Autor: | SolRakt |
Ok.
Also, ich möchte zeigen, dass die beiden Mengen gleich sind, dazu zeig ich einmal [mm] \subseteq [/mm] und [mm] \supseteq
[/mm]
[mm] \supseteq
[/mm]
<ggT(a,b)> = <c> = <ka+lb>={r(ka+lb) |r [mm] \in \IZ} [/mm] = {rka+rlb | r [mm] \in \IZ}
[/mm]
Und rka ist in A, das A UM und rlb ist in B, da B UM.
Per defintionem von der Summe zweier UM folgt doch:
{rka+rlb | r [mm] \in \IZ} [/mm] = A + B
Aber eigentlich habe ich doch nur "=" benutzt, also beide Inklusionen gemacht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:03 Mi 04.05.2011 | | Autor: | wieschoo |
Mengengleichheit zeigt man normalerweise elementweise.
[mm]x\in A\gdw x\in B\Rightarrow x\in C[/mm] und nicht [mm]A=B\subset C[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Do 05.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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