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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:03 Sa 21.10.2006 | | Autor: | Leader |
| Aufgabe | Seien X, Y Mengen, sei f : X [mm] \to [/mm] Y eine Abbildung und seien U, V Teilmengen von X. Zeigen Sie:
i) f(U [mm] \cup [/mm] V) = f(U) [mm] \cup [/mm] f(V)
ii) f(U [mm] \cap [/mm] V) [mm] \subseteq [/mm] f(U) [mm] \cap [/mm] f(V) |
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Hallo,
Wir sollen die obige Aussage beweisen bzw. zeigen, dass das richtig ist. Mir fehlt allerdings hierbei der Ansatz. Gedanklich kann ich mir zwar vorstellen, dass die Aussagen stimmen (hab es auch einmal mit einem Venn-Diagramm probiert), aber ich weiß nicht, wie ich zeigen soll, dass das auch wirklich stimmt.
Meine einzige Vermutung wäre eine Wahrheitstabelle. Bin mir aber nicht ganz sicher, ob das in Bezug zu dieser Aufgabe wirklich geht und wie die dann aussehen müsste.
Hat jemand eine Idee, wie man so etwas zeigen/beweisen kann? Würde mir wirklich sehr helfen.
Freundliche Grüße,
Leader.
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> Seien X, Y Mengen, sei f : X [mm]\to[/mm] Y eine Abbildung und seien
> U, V Teilmengen von X. Zeigen Sie:
>
> i) f(U [mm]\cup[/mm] V) = f(U) [mm]\cup[/mm] f(V)
> ii) f(U [mm]\cap[/mm] V) [mm]\subseteq[/mm] f(U) [mm]\cap[/mm] f(V)
Hallo,
wen du die Gleichheit von Mengen zeigen möchtest, mußt Du zeigen, daß jede Teilmenge der anderen ist.
Also: für A=B ist zu zeigen
1) A [mm] \subseteq [/mm] B und
2) B [mm] \subseteq [/mm] A.
Wie zeigt man eine Teilmengenbeziehung C [mm] \subseteq [/mm] D?
Man zeigt, daß jedes x aus C auch in D liegt, also x [mm] \in [/mm] C ==> x [mm] \in [/mm] D.
Nun zur konkreten Aufgabe.
Zu zeigen ist
i) f(U [mm]\cup[/mm] V) = f(U) [mm]\cup[/mm] f(V)
Der Beweis spaltet sich in zwei Teile.
z.z. i1) f(U [mm]\cup[/mm] V) [mm] \subseteq [/mm] f(U) [mm]\cup[/mm] f(V)
z.z. i2) f(U) [mm]\cup[/mm] f(V) [mm] \subseteq [/mm] f(U [mm]\cup[/mm] V)
zui1)
Sei y [mm] \in [/mm] f(U [mm]\cup[/mm] V)
==> es gibt ein x [mm] \in [/mm] U [mm]\cup[/mm] V mit f(x)=y
==> es gibt ein x [mm] \in [/mm] U mit f(x)=y oder es gibt ein x [mm] \in [/mm] V mit f(x)=y
==> y [mm] \in [/mm] f(U) oder y [mm] \in [/mm] f(V)
==> y [mm] \in [/mm] f(U) [mm] \cup [/mm] f(V).
Also ist f(U [mm]\cup[/mm] V) [mm] \subseteq [/mm] f(U) [mm]\cup[/mm] f(V).
Möglicherweise kommst Du jetzt schon mit dem Rest klar.
Gruß v. Angela
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