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| Aufgabe | Man beweise: für alle a, b [mm] \in \IR [/mm] gilt ab [mm] \le (\bruch{a+b}{2})^2
[/mm]
a) indirekt
b) direkt |
Ich weiß leider nicht genau wie man es indirekt beweisen kann...
theoretisch müsste a, b [mm] \ge (\bruch{a+b}{2})^2 [/mm] für einen idirekten Beweiß gelten. Wie geht man nun vor?
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Hallo,
> Man beweise: für alle a, b [mm]\in \IR[/mm] gilt ab [mm]\le (\bruch{a+b}{2})^2[/mm]
>
> a) indirekt
> b) direkt
> Ich weiß leider nicht genau wie man es indirekt beweisen
> kann...
> theoretisch müsste a, b [mm]\ge (\bruch{a+b}{2})^2[/mm] für einen
> idirekten Beweiß gelten. Wie geht man nun vor?
Für einen indirekten Beweis nimm das Gegenteil an und führe dies auf einen Widerspruch.
Lg Thomas
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> Für einen indirekten Beweis nimm das Gegenteil an und
> führe dies auf einen Widerspruch.
theoretisch müsste a, b [mm] \ge (\bruch{a+b}{2})^2 [/mm] ja denn dass Gegenteil sein. Bloß wie geht man denn weiter vor?
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> >
> > Für einen indirekten Beweis nimm das Gegenteil an und
> > führe dies auf einen Widerspruch.
>
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> theoretisch müsste a, b [mm]\ge (\bruch{a+b}{2})^2[/mm] ja denn
du meinst sicher :
$ab > [mm] (\bruch{a+b}{2})^2 [/mm] $
> dass Gegenteil sein. Bloß wie geht man denn weiter vor?
naja wie hast du das denn direkt gezeigt?
forme doch:
$ab > [mm] (\bruch{a+b}{2})^2 [/mm] $
einmal ein wenig um ... etwa auf die Form
$ 0 > ... $
Lg
Thomas
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Okay dann komme ich auf folgende Lösung:
ab [mm] \le \bruch{a+b}{2}
[/mm]
ist sie richtig?
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> Okay dann komme ich auf folgende Lösung:
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> ab [mm]\le \bruch{a+b}{2}[/mm]
>
> ist sie richtig?
Nein.
Du bist meinem Hinweis nicht ansatzweise gefolgt....
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Tut mir leid.. :) , ich weiß leider nicht genau wie ich sie umformen kann
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 Fr 24.10.2014 | | Autor: | Thomas_Aut |
Versuchs einfach mal :)
forme um was du kannst und dann schauen wir weiter - ausgehend von:
zeige:
ab > [mm] (\frac{a+b}{2})^2 [/mm]
ist falsch.
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okay ich folgend vorgehen:
ab [mm] \ge (\bruch{a+b}{2})^2
[/mm]
ab [mm] \ge (\bruch{a+b}{2})^2 [/mm] | [mm] \wurzel{}
[/mm]
[mm] \wurzel{ab} \ge \bruch{a+b}{2} [/mm] | *2
[mm] 2\wurzel{ab} \ge [/mm] a+b
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:46 Sa 25.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> okay ich folgend vorgehen:
>
> ab [mm]\ge (\bruch{a+b}{2})^2[/mm]
>
> ab [mm]\ge (\bruch{a+b}{2})^2[/mm] | [mm]\wurzel{}[/mm]
>
> [mm]\wurzel{ab} \ge \bruch{a+b}{2}[/mm] | *2
Nein, das kannst Du so nicht machen. Niemand hat gesagt, das ab [mm] \ge [/mm] 0 ist.
FRED
>
> [mm]2\wurzel{ab} \ge[/mm] a+b
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:01 Sa 25.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> okay ich folgend vorgehen:
>
> ab [mm]\ge (\bruch{a+b}{2})^2[/mm]
>
> ab [mm]\ge (\bruch{a+b}{2})^2[/mm] | [mm]\wurzel{}[/mm]
>
> [mm]\wurzel{ab} \ge \bruch{a+b}{2}[/mm] | *2
>
> [mm]2\wurzel{ab} \ge[/mm] a+b
eine Aneinenderreihung irgendwelcher Zeilen hat nichts mit einem Beweis
zu tun. Benutze bitte [mm] $\Rightarrow$, $\Leftarrow$ [/mm] etc.
Ansonsten: Siehe auch Freds Hinweis. Oder Du machst zudem auch Fallunterscheidungen...
Gruß,
Marcel
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> Man beweise: für alle a, b [mm]\in \IR[/mm] gilt ab [mm]\le (\bruch{a+b}{2})^2[/mm]
>
> a) indirekt
> b) direkt
>
> Ich weiß leider nicht genau wie man es indirekt beweisen
> kann...
> theoretisch müsste a, b [mm]\ge (\bruch{a+b}{2})^2[/mm] für einen
> idirekten Beweiß gelten. Wie geht man nun vor?
also:
$ab [mm] >(\bruch{a+b}{2})^2 [/mm] $
dies ist doch nichts anderes als
$ab > [mm] \frac{a^2 +2ab +b^2}{4}$ [/mm]
[mm] \gdw [/mm]
$4ab > [mm] a^2 [/mm] +2ab [mm] +b^2$
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
$0 > [mm] a^2 [/mm] -2ab [mm] +b^2$
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
$0 > [mm] (a-b)^2 [/mm] $
wieviele a,b [mm] \in \mathbb{R} [/mm] findest du denn, dass diese Aussage richtig ist?
Lg Thomas
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Dann müsste durch dass Quadrat keine Lösung vorhanden sein, da ja alles positiv ist..?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:01 Sa 25.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Man beweise: für alle a, b $ [mm] \in \IR [/mm] $ gilt ab $ [mm] \le (\bruch{a+b}{2})^2 [/mm] $
> a) indirekt
> b) direkt
im Fall b) machst Du folgendes:
Du nimmst $a,b [mm] \in \IR$ [/mm] beliebig, aber fest. Dann brauchst Du eine Aussage, die
mit Sicherheit wahr ist, und aus der die Behauptung folgt. Mehr dazu später!
Im Falle a) geht es ein wenig anders:
Angenommen, die Behauptung ist falsch. Dann gibt es jedenfalls (zwei,
nicht notwendig verschiedene) Zahlen
[mm] $a_0,b_0 \in \IR$
[/mm]
mit
[mm] $a_0 b_0 [/mm] > [mm] (\tfrac{a_0+b_0}{2})^2$
[/mm]
Daraus folgert man einen Widerspruch.
Ich mache nun eine andere Aufgabe als Demonstration:
Behauptung: Für alle $x > [mm] 0\,$ [/mm] gilt
$x+1/x [mm] \ge 2\,.$
[/mm]
Direkter Beweis:
Es gilt
$x+1/x [mm] \ge [/mm] 2$ [mm] $\iff$ $x^2+1 \ge [/mm] 2x$ [mm] $\iff$ $(x-1)^2 \ge 0\,.$
[/mm]
(Es wäre nun aber falsch, zu sagen: Weil aus $x+1/x [mm] \ge [/mm] 2$ die wahre Aussage
[mm] $(x-1)^2 \ge [/mm] 0$ folgt, gilt die Behauptung!)
Der Beweis folgt nun, weil
$x+1/x [mm] \ge [/mm] 2$ [mm] $\Longleftarrow$ $x^2+1 \ge [/mm] 2x$ [mm] $\Longleftarrow$ $(x-1)^2 \ge 0\,.$
[/mm]
Denn die Aussage
[mm] $(x-1)^2 \ge [/mm] 0$
ist hier offensichtlich wahr, und mit der letzten Folgerungskette folgt dann
die Behauptung (lesen von rechts nach links). Dazu lies auch
meinen Artikel hier (klick!).
Widerspruchsbeweis:
Angenommen, es gibt ein [mm] $x_0 [/mm] > 0$ mit
[mm] $x_0+1/x_0 [/mm] < [mm] 2\,.$
[/mm]
Dann folgt
[mm] $x_0+1/x_0 [/mm] < 2$ [mm] $\Rightarrow$ ${x_0}^2+1 [/mm] < [mm] 2x_0$ $\Rightarrow$ $(x_0-1)^2 [/mm] < [mm] 0\,.$
[/mm]
Letzteres kann aber offensichtlich nicht gelten, so dass dieser Widerspruch
nur dadurch gelöst werden kann, dass die Annahme
[mm] $x_0 [/mm] > 0$ und [mm] $x_0+1/x_0 [/mm] < [mm] 2\,$
[/mm]
zu verwerfen ist - die Annahme [mm] $x_0 [/mm] > 0$ ist hier aber eine "Grundvoraussetzung".
Also kann nur [mm] $x_0+1/x_0 [/mm] < 2$ falsch sein...
Gruß,
Marcel
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Danke für die Demonstration, jetzt kann ich es ein wenig nachvollziehen :)
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