Beweise konvergenz einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass die durch [mm] a_n=1+\bruch{1}{n}*\sin [/mm] n gegebene Folge konvergiert. |
Hi
Also ich habe hauptsächlich schwierigkeiten alg. Beweise zu formulieren vlt. kann mir ja jemand einen Anhaltspubkt geben wie ich an Beweise dieser Art grundsätzlich drangehen kann.
Wenn ich mir die Vorschrift anschaue würde ich sagen, dass der bruch für [mm] n\rightarrow \infty [/mm] gegen Null geht und Null mal Sinus_egalwas sind ja immernoch Null, daher denke ich konvergiert diese Folge gegen 1. Jedoch weiß ich wie gesagt nicht wie man Beweise formuliert. Klar hab ich schon viele gesehen und in der Vorlesung gehört, aber ich kann mir einfach keinen Reim drauf machen welche Sätze oder Def. oder was auch immer ich denn hier nun zu Rate ziehen soll.
Grüße
sub
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:24 Sa 12.04.2008 | | Autor: | abakus |
> Beweisen Sie, dass die durch [mm]a_n=1+\bruch{1}{n}*\sin[/mm] n
> gegebene Folge konvergiert.
> Hi
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> Also ich habe hauptsächlich schwierigkeiten alg. Beweise zu
> formulieren vlt. kann mir ja jemand einen Anhaltspubkt
> geben wie ich an Beweise dieser Art grundsätzlich drangehen
> kann.
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> Wenn ich mir die Vorschrift anschaue würde ich sagen, dass
> der bruch für [mm]n\rightarrow \infty[/mm] gegen Null geht und Null
> mal Sinus_egalwas sind ja immernoch Null, daher denke ich
> konvergiert diese Folge gegen 1. Jedoch weiß ich wie gesagt
> nicht wie man Beweise formuliert. Klar hab ich schon viele
> gesehen und in der Vorlesung gehört, aber ich kann mir
> einfach keinen Reim drauf machen welche Sätze oder Def.
> oder was auch immer ich denn hier nun zu Rate ziehen soll.
>
> Grüße
>
> sub
>
> ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo,
du kannst eine Abschätzung machen. Wegen [mm] -1\le sin(x)\le1 [/mm] gilt
[mm] -\bruch{1}{n}\le sin(n)*\bruch{1}{n} \le \bruch{1}{n}
[/mm]
Da sowohl [mm] -\bruch{1}{n} [/mm] als auch [mm] \bruch{1}{n} [/mm] gegen Null konvergieren, tut es auch der dazwischen liegende Term. Manche hier im Forum nennen dies das "Sandwich-Prinzip".
Viele Grüße
Abakus
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Hi,
danke erstmal für die schnelle Antwort. Kannst du noch etwas näher erläutern was du mit 'Abschätzung' meinst?
Ist das quasi eine Annahme die ich einfach mal so in dem Raum stelle (Vorraussetzung dafür wäre in diesem Fall demnach, dass ich zufällig schonmal von diesem Sandwich-Prinzip gehört hätte und es dann einzusetzen weiß -> würde Bedeuten um Beweise zu formulieren muss ich möglichst viele Dinge schon einmal gesehen und begriffen haben... damit ich sie dann an anderer Stelle wieder einsetzen kann) und anhand dessen dann meine konvergenz zeige. Wenn das so ist habe ich mit der Abschätzung jetzt was genau gezeigt? Ich zeige damit doch nicht, dass der teil mit 1/n * sin(n) gg. Null geht und die ganze Folge gg. 1 konv. oder? Was habe ich mit dieser Abschätzung genau gezeigt?
grüße
sub
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> Hi,
Hey!
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> danke erstmal für die schnelle Antwort. Kannst du noch
> etwas näher erläutern was du mit 'Abschätzung' meinst?
> Ist das quasi eine Annahme die ich einfach mal so in dem
> Raum stelle (Vorraussetzung dafür wäre in diesem Fall
> demnach, dass ich zufällig schonmal von diesem
> Sandwich-Prinzip gehört hätte und es dann einzusetzen weiß
> -> würde Bedeuten um Beweise zu formulieren muss ich
> möglichst viele Dinge schon einmal gesehen und begriffen
> haben... damit ich sie dann an anderer Stelle wieder
> einsetzen kann) und anhand dessen dann meine konvergenz
> zeige. Wenn das so ist habe ich mit der Abschätzung jetzt
> was genau gezeigt? Ich zeige damit doch nicht, dass der
> teil mit 1/n * sin(n) gg. Null geht und die ganze Folge gg.
> 1 konv. oder?
Doch genau das hast du gezeigt. Da der sinus nur Werte zwischen -1 und 1 annimmt, wird das Produkt [mm] \frac{1}{n}*sin(n) [/mm] minimal [mm] -\frac{1}{n} [/mm] oder maximal [mm] +\frac{1}{n}. [/mm] Da aber sowohl die obere Abschätzung als auch die untere Abschätzung gegen Null geht, geht auch das Produkt [mm] \frac{1}{n}*sin(n) [/mm] gegen Null. Wo sollte es auch anderes hingehen? Es wird ja von oben und von unten durch die Null eingeschachtelt.
Die 1 bleibt ja 1, da sie nicht von n abhängt. Also gilt für deine Folge für [mm] n\to\infty: [/mm] 1+0=1.
Die gesamte Folge konvergiert somit gegen 1.
> Was habe ich mit dieser Abschätzung genau
> gezeigt?
>
> grüße
>
> sub
Gruß Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:23 So 13.04.2008 | | Autor: | suburbian2 |
Hi
Ok ich denke das habe ich verstanden danke für die schnelle Hilfe. Schönes Weekend noch
grüße
sub
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