Beweise oder widerlege < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:55 Do 06.05.2010 | | Autor: | jxn |
| Aufgabe | Man beweise oder widerlege:
(a) Es gibt ein [mm] f\in C^1(\IR^2;\IR) [/mm] mit [mm] \partial_xf(x,y)=xy [/mm] und [mm] \partial_yf(x,y)=y^2 [/mm] für alle [mm] (x,y)\in \IR^2.
[/mm]
(b) Seien [mm] p_0=(0,0), p_1=(2,0), p_2=(1,1) \in\IR^2. [/mm] Es gibt [mm] f\in C^1(\IR^2;\IR) [/mm] so, dass [mm] f(p_i)=0 [/mm] für i=0,1,2 und [mm] Df(x)\not=0 [/mm] für alle [mm] x\in\IR^2.
[/mm]
(c) Es gibt [mm] f\in C^1(\IR^2;\IR) [/mm] so, dass f(p)=0 für alle [mm] p\in\partial B_1(0) [/mm] und [mm] Df(x)\not=0 [/mm] für alle x [mm] \in\IR^2.
[/mm]
|
Hallo zusammen!
Zu obigen Aufgaben denke ich von der Lösung noch weit entfernt zu sein.
Allgemein scheint es mir bei diesem Aufgabentyp angebracht zu sein, sich zunächst mal ein paar Kandidaten aufzuschreiben, was grob als Beispiel in Frage kommen kann, um so dann abzusehen, ob man ein Funktionsbeispiel finden kann, was alle Anforderungen erfüllt, oder ob man allmählich an einem widerlegenden Beweis rumbasteln sollte.
zu a) Erster Gedanke war, eine Summe von Produkten aus x und y zu bilden. Wegen der part. Ableitung nach y sieht man schnell dass ein Summand als [mm] (1/3)*y^3 [/mm] gewählt werden kann. Nimmt man dann noch [mm] (1/2)*x^2*y [/mm] hinzu, klappt es auch mit der part. Abl. nach x, aber man hat sich dann zuviel für die Ableitung nach y hinzukonstruiert. Ein besseres Beispiel find ich nicht, geht es vielleicht gar nicht?
Ein konkretes Problem ist, dass mir für den [mm] \IR^2 [/mm] teils die Anschauung fehlt, wie Funktionen dort aussehen, insbesondere was es für Beispiele von Funktionen gibt, die generell die Bedingung [mm] Df(x)\not=0 \forallx\in\IR^2 [/mm] erfüllen. In [mm] \IR [/mm] würde ich spontan an e-Funktion und ln denken.
zu b) Um der Bedingung zu genügen, dass [mm] f(p_i)=0 [/mm] sein soll, hatte ich als Ideen, ein Produkt von sin und cos Ausdrücken zu bilden mit x,y als Argument. Aber da wird es dann wohl an der Df Bedingung scheitern. In [mm] \IR [/mm] haette man sich eventuell noch aus Linearfaktoren ein Polynom basten können, kann man etwas ähnliches im [mm] \IR^n [/mm] machen?
zu c) Allgemein zum Verständnis: Es geht um den Rand des Balls mit Radius 1 um den Koordinatenursprung, richtig? Naheliegende Idee, etwas in der Art [mm] f(x,y)=|\vec{x}|-1 [/mm] aufzustellen, aber wohl wiederum mit der Bedingung an Df nicht verträglich.
Ich bin für jede Anregung dankbar.
Gruß,
jxn
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Man beweise oder widerlege:
> (a) Es gibt ein [mm]f\in C^1(\IR^2;\IR)[/mm] mit
> [mm]\partial_xf(x,y)=xy[/mm] und [mm]\partial_yf(x,y)=y^2[/mm] für alle
> [mm](x,y)\in \IR^2.[/mm]
>
> zu a) Erster Gedanke war, eine Summe von Produkten aus x
> und y zu bilden. Wegen der part. Ableitung nach y sieht man
> schnell dass ein Summand als [mm](1/3)*y^3[/mm] gewählt werden
> kann. Nimmt man dann noch [mm](1/2)*x^2*y[/mm] hinzu, klappt es auch
> mit der part. Abl. nach x, aber man hat sich dann zuviel
> für die Ableitung nach y hinzukonstruiert. Ein besseres
> Beispiel find ich nicht, geht es vielleicht gar nicht?
Hallo,
Du wirst wohl keins finden:
Es müssen ja gleichzeitig gelten
[mm] f(x,y)=\integral xydx=\bruch{1}{2}x^2y+ c_1(y)
[/mm]
und
[mm] f(x,y)=\integral y^2dy=\bruch{1}{3}y^3 [/mm] + [mm] c_2(x),
[/mm]
und dies wird nicht klappen, denn es muß [mm] \bruch{1}{2}x^2y [/mm] zwingend ein Summand von f sein, ebenso zwingend darf aber jeglicher Summand neben [mm] \bruch{1}{3}y^3 [/mm] nur von x abhängen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:53 Fr 07.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Zu (a) hat Angela ja schon das notwendige gesagt.
Zu (b) und (c): Solche Funktionen gibt es nicht ! Denk mal an den mehrdimensionalen Mittelwertsatz .
Secki hat Recht, oben steht Unsinn !!
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 11:31 Fr 07.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Zu (b) und (c): Solche Funktionen gibt es nicht ! Denk mal
> an den mehrdimensionalen Mittelwertsatz .
Der sagt aber nichts darüber aus, ob das Differential verschwindet (sondern nur in eine Richtung).
Die b) ist richtig, wenn auch andere Punkte 0 sein dürfen - dann kann man die 3 Punkte mit eine glatten Kurve verbinden, die die Ebene trennt und erhält leicht ein solches f als orientierten Abstand zur Kurve.
Die c) bleibt falsch, allerdings weil man die Abbildung auf den abgeschlossen Ball einschränkt und sieht, dass sie dann im inneren Extrema hat, was das Differential zu 0 an dieser Stelle erzwingt.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:04 So 09.05.2010 | | Autor: | jxn |
Habt vielen Dank für die Hinweise!
"Die c) bleibt falsch, allerdings weil man die Abbildung auf den abgeschlossen Ball einschränkt und sieht, dass sie dann im inneren Extrema hat"
Der Zusammenhang ist mir noch nicht ganz klar. Könnte jemand genauer ausführen, warum so ein mögliches f Extrema haben muss?
Gruß,
jxn
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:18 So 09.05.2010 | | Autor: | felixf |
Moin jxn
> Habt vielen Dank für die Hinweise!
>
> "Die c) bleibt falsch, allerdings weil man die Abbildung
> auf den abgeschlossen Ball einschränkt und sieht, dass sie
> dann im inneren Extrema hat"
>
> Der Zusammenhang ist mir noch nicht ganz klar. Könnte
> jemand genauer ausführen, warum so ein mögliches f
> Extrema haben muss?
Nun, schau dir mal $f(x)$ auf [mm] $B_1(0)$ [/mm] an. Es gibt zwei Moeglichkeiten:
a) es ist auf [mm] $B_1(0)$ [/mm] identisch 0;
b) es ist auf [mm] $B_1(0)$ [/mm] nicht identisch 0.
Im ersten Fall ist $D f(x) = 0$ fuer alle $x [mm] \in B_1(0)$.
[/mm]
Und im zweiten Fall nimmt $f$ auf [mm] $B_1(0)$ [/mm] (kompakte Menge!) ein Extremum an, und da es mindestens ein $x [mm] \in \mathring{B}_1(0)$ [/mm] mit $f(x) [mm] \neq [/mm] 0$ gibt muss es also ein lokales Extremum geben (ueberleg dir, was waere, wenn nicht!). (Hier ist es wichtig, dass das Extremum im inneren liegt und nicht auf dem Rand [mm] $\partial B_1(0)$.)
[/mm]
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:19 Mo 10.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Ein Kandidat für b) wäre z.B.:
$f(x,y):= [mm] e^x(y^2-y)$
[/mm]
FRED
|
|
|
|
