Beweise vollständige Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Finden Sie einen Ausdruck fur die folgende Summe und beweisen Sie die daraus entstehende Behauptung mit vollstaendiger Induktion:
[mm] \summe_{j=1}^{n} j^3 [/mm] |
| Aufgabe 2 | Beweisen Sie die folgenden Behauptungen mittels vollstaendiger Induktion.
a) Es seien [mm] a_{1}, [/mm] . . . , [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{1}, [/mm] . . . , [mm] b_{n} [/mm] Zahlen mit [mm] a_{j} [/mm] < [mm] b_{j} [/mm] fuer ¨ j = 1, . . . , n. Dann ist a + · · · + [mm] a_{n} [/mm] < [mm] b_{1} [/mm] + · · · + [mm] b_{n}
[/mm]
b) Es seien [mm] a_{1}, [/mm] . . . , [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{1}, [/mm] . . . , [mm] b_{n} [/mm] Zahlen mit 0 < [mm] a_{j} [/mm] < [mm] b_{j} [/mm] fur ¨ j = 1, . . . , n. Dann ist [mm] a_{1} [/mm] · · · [mm] a_{n} [/mm] < [mm] b_{1} [/mm] · · · [mm] b_{n}
[/mm]
c) Es sei p [mm] \ge [/mm] 2 dann gilt für alle n [mm] \in \IN p^n [/mm] > n
d) Es sei p [mm] \ge [/mm] 3. Dann gilt für alle n [mm] \in \IN p^n [/mm] > [mm] n^2 [/mm]
e) Für alle n [mm] \in \IN, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 5 gilt 2n > [mm] n^2 [/mm] |
| Aufgabe 3 | Beweisen Sie die folgenden Gleichungen per vollständiger Induktion.
a) [mm] \summe_{j=1}^{n} j^2 [/mm] = n*(n+1)*(2n+1)/6
Geben sie eine entsprechende Aussage für Teilmengen von [mm] \in [/mm] an, die alle bis auf endlich viele Zahlen enthalten. |
Ich befinde mich momentan im ersten Semester Mathematik an der Universität Hamburg. Dies sind die ersten Aufgaben unseres ersten Übungsblattes in Analysis I. Da ich was Beweise betrifft ein absoluter Anfänger bin, bitte ich, zumindest für den Anfang um vollständige und anschauliche Lösungen, anhand derer es mir möglich ist, beweisen und die dafür nötigen Schritte, vor Allem für die vollständige Induktion, nachzuvollziehen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:40 Fr 19.10.2018 | | Autor: | ChopSuey |
> Da ich was
> Beweise betrifft ein absoluter Anfänger bin, bitte ich,
> zumindest für den Anfang um vollständige und anschauliche
> Lösungen
Wirf mal einen Blick in unsere Forenregeln.
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Hallo;
Also bei der vollständige induktion geht es darum eine Behauptung zu beweisen, indem man zuerst mal überprüft ob die Behauptung für n=1 (bzw. für den ersten Wert für den die Behauptung gelten soll) gilt (Induktionsanfang). Das heißt Du setzt z. B. bei Aufgabe 3 für n den Wert 1 ein. Dadurch wirst Du feststellen, dass die Aussage für n=1 stimmt. Das heißt also der Induktionsanfang ist richtig und wir können den Induktionsschluss durchführen. Dazu setzen wir jetzt nicht mehr n ein, sondern für jedes n setzen wir (n+1) ein:
also lautet der Beginn des Induktionsschlusses:
[mm] \summe_{j=1}^{n+1}j^{2}=\bruch{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6}
[/mm]
[mm] \summe_{j=1}^{n}j^{2}+(n+1)^{2}=\bruch{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6}
[/mm]
Da wir beim Induktionsanfang ja gezeigt haben, dass gilt:
[mm] \summe_{j=1}^{n}j^{2}=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}
[/mm]
können wir auch schreiben:
[mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^{2}=\bruch{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6}
[/mm]
und jetzt muss man eine oder beide Seiten solange durch Ausklammern kürzen, usw. umformen, bis auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens dasselbe steht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:11 Sa 20.10.2018 | | Autor: | ChopSuey |
beim Induktionsschritt wird nicht $(n+1)$ für $n$ eingesetzt, sondern es wird die zu zeigende Aussage $A(n)$ durch Äquivalenzumformungen zu $A(n+1)$ erweitert und anschließend wird gezeigt, dass die Aussage, ausgehend von der Induktionsvoraussetzung, wahr bleibt.
$(n+1)$ einzusetzen hilft manchmal, zu sehen, wie $A(n+1)$ aussehen muss, aber ist nicht Bestandteil des Induktionsschrittes.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:34 Di 23.10.2018 | | Autor: | fred97 |
> beim Induktionsschritt wird nicht [mm](n+1)[/mm] für [mm]n[/mm] eingesetzt,
> sondern es wird die zu zeigende Aussage [mm]A(n)[/mm] durch
> Äquivalenzumformungen zu [mm]A(n+1)[/mm] erweitert und
> anschließend wird gezeigt, dass die Aussage, ausgehend von
> der Induktionsvoraussetzung, wahr bleibt.
Mit Äquivalenzumformungen bin ich nicht einverstanden.
Es ist doch ganz einfach : im Induktionsschritt nimmt man an, dass A(n) für ein natürliches n richtig ist, und folgert daraus die Richtigkeit von A(n+1) .
>
> [mm](n+1)[/mm] einzusetzen hilft manchmal, zu sehen, wie [mm]A(n+1)[/mm]
> aussehen muss, aber ist nicht Bestandteil des
> Induktionsschrittes.
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> 2 e) Für alle n [mm]\in \IN,[/mm] n [mm]\ge[/mm] 5 gilt 2n > [mm]n^2[/mm]
Das ist falsch, vermutlich ein Verdreher, < statt > .
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Entschuldigung, dafür, dass ich keinerlei eigene Ansätze habe, ich bin wie gesagt noch totaler Anfänger und komme mit Beweisen u.Ä. bis jetzt noch nicht wirklich zurecht.
Ich bitte deswegen erneut um Hilfe, falls ich Aufgaben ohne Ansätze poste, mir ist schon klar, dass das nicht gern gesehen ist, allerdings fehlt mir bis jetzt noch jeglicher Zugang zu Beweisstrukturen und Ähnlichem.
Grüße
ireallydunnoanything
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:10 Di 23.10.2018 | | Autor: | Loddar |
Hallo ireallydunnoanything,
Du hast doch oben schon zwei vollständige Beweise geliefert bekommen (einmal direkt, einmal per Link).
Versuche dies auf eine der anderen Aufgaben zu übertragen und poste mal, wie weit Du kommst.
Und dann schauen wir gemeinsam mal weiter ...
Gruß
Loddar
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