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Forum "Schul-Analysis" - Beweise zu Kompositionen
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Beweise zu Kompositionen: Aufgaben
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:22 Mi 20.10.2004
Autor: TheKite

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo zusammen,
ich habe folgende Übungsaufgaben bekommen und gar keine Ahnung:

Beweisen Sie für Abbildungen f : M  [mm] \to [/mm]  N und g : N  [mm] \to [/mm]  P :
(a) Sind f und g injektiv, so ist auch (g o f) injektiv
(b) Sind f und g surjektiv, so ist auch (g o f) surjektiv
(a) Sind f und g bijektiv, so ist auch (g o f) bijektiv und es gilt (g o f)^(-1) = f^(-1) o g^(-1)


Wäre sehr dankbar für Lösungsansätze, bzw die Beweise (sind ja "nur" Einzeiler)!

MfG
Philip
        
Bezug
Beweise zu Kompositionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:56 Mi 20.10.2004
Autor: Julius

Hallo TheKite!

Sind dir die Definitionen denn nicht klar? Denn wenn sie einem klar sind, sind dir Aufgaben wirklich nicht schwierig.


> Beweisen Sie für Abbildungen f : M  [mm]\to[/mm]  N und g : N  [mm]\to[/mm]  
> P :
>  (a) Sind f und g injektiv, so ist auch (g o f) injektiv

Du musst zeigen, dass für alle [mm] $p_1,p_2 \in [/mm] P$ aus

(*) $(g [mm] \circ [/mm] f)(p) = (g [mm] \circ [/mm] f)(p')$

die Beziehung

$p=p'$

folgt.

Nun bedeutet (*) aber:

$g(f(p)) = g(f(p'))$.

Was kann man nun (unter Zuhilfenahme der Injektivität von $g$) folgern?

Und was kann man dann anschließend aus der Injektivität von $f$ folgern?

>  (b) Sind f und g surjektiv, so ist auch (g o f)
> surjektiv

Es sei also $p [mm] \in [/mm] P$ beliebig gewählt. Zu zeigen ist: Es gibt ein $m [mm] \in [/mm] M$ mit

$(g [mm] \circ [/mm] f)(m) = p$.

Da $g$ surjektiv ist, gibt es ein $n [mm] \in [/mm] N$ mit $g(n)=p$. Da $f$ surjektiv ist, gibt es ein $m [mm] \in [/mm] M$ mit...

Wie kann man das jetzt beenden? Versuche es mal. :-)

>  (c) Sind f und g bijektiv, so ist auch (g o f) bijektiv
> und es gilt (g o f)^(-1) = f^(-1) o g^(-1)

Die erste Behauptung folgt aus (a) und (b).  

Für die zweite Gleichheit musst du

$(g [mm] \circ [/mm] f) [mm] \circ [f^{-1} \circ g^{-1}] [/mm] = [mm] id_P$ [/mm]

und

[mm] $[f^{-1} \circ g^{-1}] \circ [/mm] (g [mm] \circ [/mm] f) = [mm] id_M$ [/mm]

zeigen.

Beides folgt aber aus der Assoziativität bei der Kompositon von Abbildungen:

$(g [mm] \circ [/mm] f) [mm] \circ [f^{-1} \circ g^{-1}] [/mm] = [(g [mm] \circ [/mm] f) [mm] \circ f^{-1}] \circ g^{-1} [/mm] = [g [mm] \circ [/mm] (f [mm] \circ f^{-1})] \circ g^{-1} [/mm] = [g [mm] \circ id_N] \circ g^{-1} [/mm] = g [mm] \circ g^{-1} [/mm] = [mm] id_P$. [/mm]

Die zweite Gleichung solltest du (ähnlich) selber hinkriegen.

Melden dich mal mit deinen Vorschlägen. :-)

Liebe Grüße
Julius

Bezug
                
Bezug
Beweise zu Kompositionen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:27 Mi 20.10.2004
Autor: TheKite

Vielen Dank ersteinmal,

also,  ich habe noch ein paar Probleme mit a und b:
mir ist klar das das auch sur, bzw. injektiv sein muss. Ich habe so einen Beweis aber noch nie geführt und hab keine Ahnung wie ich Meine Gedanken diesbezüglich formulieren kann.

Zu Aufgabe c:

ich habe aber  folgendes Heraus bekommen, wo ist mein Fehler?

[ [mm] f^{-1} [/mm] o [mm] g^{-1} [/mm] ] o ( g o f ) = [mm] [(f^{-1} [/mm] o [mm] g^{-1}) [/mm] o g ] o f = [mm] [f^{-1} [/mm] o (g o [mm] g^{-1})] [/mm] o f [mm] =[f^{-1} [/mm] o [mm] id_{P} [/mm] ] o f [mm] =f^{-1} [/mm] o f = [mm] id_{N} [/mm]

MfG
Philip

Bezug
                        
Bezug
Beweise zu Kompositionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:14 Mi 20.10.2004
Autor: Julius

Hallo!

> also,  ich habe noch ein paar Probleme mit a und b:
>  mir ist klar das das auch sur, bzw. injektiv sein muss.
> Ich habe so einen Beweis aber noch nie geführt und hab
> keine Ahnung wie ich Meine Gedanken diesbezüglich
> formulieren kann.

Dann musst das dringend trainieren. Schreibe deine Gedanken dazu doch einfach mal auf. Wir sagen dir dann schon, ob es so okay ist oder wie man es vielleicht besser aufschreibt.

> [ [mm]f^{-1}[/mm] o [mm]g^{-1}[/mm] ] o ( g o f ) = [mm][(f^{-1}[/mm] o [mm]g^{-1})[/mm] o g ]
> o f = [mm][f^{-1}[/mm] o [mm]\red{(g o g^{-1})}][/mm] o f [mm]=[f^{-1}[/mm] o [mm]id_{P}[/mm] ] o f
> [mm]=f^{-1}[/mm] o f = [mm]id_{N} [/mm]

Ich habe den Fehler markiert. Richtig geht es so:

[mm] $[f^{-1} \circ g^{-1}] \cdot [/mm] (g [mm] \circ [/mm] f) = [mm] [(f^{-1} \circ g^{-1}) \circ [/mm] g] [mm] \circ [/mm] f  = [mm] [f^{-1} \circ (g^{-1} \circ [/mm] g)] [mm] \circ [/mm] f = [mm] [f^{-1} \circ id_N] \circ [/mm] f = [mm] f^{-1} \circ [/mm] f = [mm] id_M$. [/mm]

Liebe Grüße
Julius
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