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| Aufgabe 1 | Man beweise: Ist V ein VR über K=R oder K=C, so gilt für alle [mm] x\in [/mm] V und [mm] a\inK:
[/mm]
a) 0+x=x
b)-0=0
c)a0=0
d)0x=0
e)ax=0 genau dann wenn a oder x 0 ist.
f)-x=(-1)x |
| Aufgabe 2 | Für [mm] a\inK [/mm] definieren wir:
[mm] U_a=\{(x_1,x_2,x_3)\inK^3|x_1+x_2+x_3=a\}
[/mm]
Man beweise: [mm] U_a [/mm] ist genau dann ein UVR von [mm] K^3, [/mm] wenn a=0 ist. |
| Aufgabe 3 | | Gelten für [mm] (K,+,\cdot) [/mm] alle Körperax. mit möglicher Ausnahme von "E. des multiplikativ I.", so nennt man [mm] (K,+,\cdot) [/mm] einen "kommutativen Ring mit Einselement" . Kann darüberhinaus xy=0 nur eintreten für x=0 oder y=0 so ist K ein Integritätsbeweis. Man zeige: Jeder endliche Integrätsbereich ist ein Körper. |
Hallo!
Leider sind in meinem Buch keine Lösungen angegeben. Ich hoffe es hat jemand Lust sich die Sachen anzusehen...Vielen Dank!
1.
a) 0+x=x folgt mit KG aus x+0=0
b)0=0+(-0)=-0 wegen a)
c)0=a0+(-a0) (E. [mm] Inversen)\rightarrow [/mm] 0=a(0+0)+(-a0) ( b) und E. [mm] Inversen)\rightarrow [/mm] 0=a0+a0+(-a0) [mm] (Distrib.)\rightarrow [/mm] 0=a0 (E. Invers)
d) Kann man ja gleich wie c) beweisen oder?
e) Die eine Richtung folgt aus c),d) die andere: [mm] x^{-1}(ax)=a=0x^{-1}=0 [/mm] (Mit KG., AG.,E.I., E.1,d)) Für x=0 analog.
f) 1x+(-1x)=0 [mm] (E.I.)\rightarrow(x+(-x))+(-1x)=-x(E.1,E.I.,E.0,KG.,AG)\rightarrow0+(-1x)=-x(E.0) [/mm] -1x=-x
2.
[mm] \rightarrow
[/mm]
Konkretes einsetzen zeigt dass [mm] U_0 [/mm] nicht leer.
[mm] x_1+x_2+x_3=0 [/mm] und [mm] y_1+y_2+y_3=0, x_1,x_2
[/mm]
[mm] ,x_3,y_1,y_2,y_3\in U_0 \rightarrow (x_1+y_1)+(x_2+y_2)+(x_3+y_3)=0 [/mm] (Beide 1. Gleichunge addieren)
Für [mm] b\inK [/mm] und [mm] x_1,x_2,x_3\in U_0 [/mm] und [mm] x_1+x_2+x_3=0 [/mm] folgt mit [mm] \cdot [/mm] b:
[mm] bx_1+bx_2+bx_3=b(x_1+x_2+x_3)=0
[/mm]
[mm]\leftarrow[/mm]
Die 0 kann nur für a=0 in [mm] U_a [/mm] sein weil dazu 0+0+0=a erfüllt sein muss, was es nur für a=0 ist.
3.
Existenz eines Inversen:
Aus den Voraussetzungen folgt dass zumindest 0 kein I. besitzen kann, denn würde es eins besitzen so wäre dies ein Wiederspruch zu [mm] 0y=0\forall y\in [/mm] K. Bleibt nur mehr die E. für alle anderen Zahlen zu zeigen.
Würde kein I. existieren so würde ein [mm] x\in [/mm] K [mm] \not=0 [/mm] existieren sodass [mm] \forall y\in [/mm] K gilt [mm] xy\not=1. [/mm] Für x=1 wäre dies wegen der E.1 sofort ein Wiederspruch. Nun kann man aber alle natürlichen [mm] x\in [/mm] K in eine Summe aus Einsen zerlegen sodass gilt:
[mm] 1x=1\cdot(1+1+1+1...)=1\cdot1+1\cdot1...=1+1+1+...=x
[/mm]
Also wäre die Behauptung ein Wiederspruch zum Axiom E.1 für alle natürlichen x. Wenn die Behauptung für natürliche x stimmt würde sie auch für Ganze stimmen, denn bei negativen Zahlen muss auch dass I. negativ sein sonst wäre das Produkt nicht positiv. Das das Produkt zweier negativer Zahlen + ist, kann man mit ihnen also ebenso verfahren wie mit den positiven Zahlen. Da man rationale Zahlen durch Brüche aus ganzen Zahlen darstellen kann gilt die Behauptung auch für sie, wenn man zwei [mm] m\cdot m^{-1}=1 [/mm] teilt, steht auf der rechten Seite wieder die 1. Für die irrationalen Zahlen bestätigt man die Behauptung indem man eine beliebige Wurzel zieht und erkennt das auf der rechten Seite trotzdem immer die Eins steht.
Eindeutigkeit:
Würde ein 2. Inverses x existieren so müsste es xy=1 erfüllen.
Wenn man die Existenz vorsaussetzt folgt aber:
[mm] (xy)y^{-1}=1y^{-1}\rightarrow x(yy^{-1})=y^{-1}(AG.,E1)\rightarrow x=y^{-1}(E.I.,E.1)
[/mm]
Würde daraus nicht A.8 folgen und daraus dass [mm] (K,+,\cdot) [/mm] ein Körper ist?
Ich glaub dass ist irgendwie falsch...1. beweise ich die Sache ja nicht für alle Körper. (Wäre das auf diesen Weg überhaupt möglich?) Zweites habe ich nicht ganz verstanden inwiefern die "Endlichkeit" eine Rolle spielt??
Gruß
Angelika
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:29 Di 01.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Angelika!
> Man beweise: Ist V ein VR über K=R oder K=C, so gilt für
> alle [mm]x\in[/mm] V und [mm]a\inK:[/mm]
Warum sollte man hier $K = [mm] \IR$ [/mm] oder $K = [mm] \IC$ [/mm] fixieren? Das gilt fuer beliebige Koerper.
> a) 0+x=x
> b)-0=0
> c)a0=0
> d)0x=0
> e)ax=0 genau dann wenn a oder x 0 ist.
> f)-x=(-1)x
>
> Für [mm]a\inK[/mm] definieren wir:
> [mm]U_a=\{(x_1,x_2,x_3)\inK^3|x_1+x_2+x_3=a\}[/mm]
> Man beweise: [mm]U_a[/mm] ist genau dann ein UVR von [mm]K^3,[/mm] wenn a=0
> ist.
>
> Gelten für [mm](K,+,\cdot)[/mm] alle Körperax. mit möglicher
> Ausnahme von "E. des multiplikativ I.", so nennt man
> [mm](K,+,\cdot)[/mm] einen "kommutativen Ring mit Einselement" .
> Kann darüberhinaus xy=0 nur eintreten für x=0 oder y=0 so
> ist K ein Integritätsbeweis. Man zeige: Jeder endliche
> Integrätsbereich ist ein Körper.
Stell das naechste Mal doch bitte drei getrennte Fragen.
> a) 0+x=x folgt mit KG aus x+0=0
Ja.
> b)0=0+(-0)=-0 wegen a)
Ja, du solltest es aber besser als $(-0) [mm] \overset{(a)}{=} [/mm] 0 + (-0) = 0$ aufschreiben.
> c)0=a0+(-a0) (E. [mm]Inversen)\rightarrow[/mm] 0=a(0+0)+(-a0) ( b)
Du meinst (a) und nicht (b), oder?
> und E. [mm]Inversen)\rightarrow[/mm] 0=a0+a0+(-a0)
> [mm](Distrib.)\rightarrow[/mm] 0=a0 (E. Invers)
Ok.
> d) Kann man ja gleich wie c) beweisen oder?
Fast. Du brauchst halt das andere Distributivgesetz.
> e) Die eine Richtung folgt aus c),d)
Ok.
> die andere:
> [mm]x^{-1}(ax)=a=0x^{-1}=0[/mm]
Was soll [mm] $x^{-1}$ [/mm] sein? Das gibt es nicht. Du meinst eher [mm] $a^{-1}$? [/mm] Und hier musst du vorher aufpassen, dass $a [mm] \neq [/mm] 0$ ist.
> (Mit KG., AG.,E.I., E.1,d)) Für x=0
> analog.
>
> f) 1x+(-1x)=0
> [mm](E.I.)\rightarrow(x+(-x))+(-1x)=-x(E.1,E.I.,E.0,KG.,AG)[/mm]
Da ich leider keine Kristallkugel hab: was heisst E.1, E.I., E.0, KG, AG?
E.I. = Existenz Inverse
KG = Kommutativgesetz
AG = Assoziativgesetz
Und was sind E.0 und E.1?
> [mm]\rightarrow0+(-1x)=-x(E.0)[/mm]
> -1x=-x
>
> 2.
>
> [mm]\rightarrow[/mm]
>
> Konkretes einsetzen zeigt dass [mm]U_0[/mm] nicht leer.
Was z.B. einsetzen?
> [mm]x_1+x_2+x_3=0[/mm] und [mm]y_1+y_2+y_3=0, x_1,x_2[/mm]
> [mm],x_3,y_1,y_2,y_3\in U_0 \rightarrow (x_1+y_1)+(x_2+y_2)+(x_3+y_3)=0[/mm]
> (Beide 1. Gleichunge addieren)
Vorsicht! Weder [mm] $x_1$ [/mm] noch [mm] $x_2$ [/mm] noch [mm] $x_3$ [/mm] noch [mm] $y_1$ [/mm] noch ... sind Elemente aus [mm] $U_0$! [/mm] Du meinst: [mm] $(x_1, x_2, x_3), (y_1, y_2, y_3) \in U_0$.
[/mm]
> Für [mm]b\inK[/mm] und [mm]x_1,x_2,x_3\in U_0[/mm]
Dasselbe hier!
> und [mm]x_1+x_2+x_3=0[/mm] folgt mit [mm]\cdot[/mm] b:
> [mm]bx_1+bx_2+bx_3=b(x_1+x_2+x_3)=0[/mm]
>
> [mm]\leftarrow[/mm]
>
> Die 0 kann nur für a=0 in [mm]U_a[/mm] sein weil dazu 0+0+0=a
> erfüllt sein muss, was es nur für a=0 ist.
Ja.
> 3.
>
> Existenz eines Inversen:
>
> Aus den Voraussetzungen folgt dass zumindest 0 kein I.
> besitzen kann, denn würde es eins besitzen so wäre dies
> ein Wiederspruch zu [mm]0y=0\forall y\in[/mm] K. Bleibt nur mehr die
> E. für alle anderen Zahlen zu zeigen.
Vorsicht: verwende bitte nicht das Wort Zahlen fuer Koerperelemente! Das gilt nur in den seltensten Faellen!
> Würde kein I. existieren so würde ein [mm]x\in[/mm] K [mm]\not=0[/mm]
> existieren sodass [mm]\forall y\in[/mm] K gilt [mm]xy\not=1.[/mm]
Ja.
> Für x=1 wäre dies wegen der E.1 sofort ein Wiederspruch.
Also muss $x [mm] \neq [/mm] 1$ sein.
> Nun kann man aber alle natürlichen [mm]x\in[/mm] K in eine Summe aus Einsen
> zerlegen sodass gilt:
>
> [mm]1x=1\cdot(1+1+1+1...)=1\cdot1+1\cdot1...=1+1+1+...=x[/mm]
Dein Ring besteht nicht aus Zahlen. Er besteht einfach aus Elementen, ueber die du nichts weisst, ausser halt die Ringaxiome.
Aber selbst wenn das so waere:
> Also wäre die Behauptung ein Wiederspruch zum Axiom E.1
> für alle natürlichen x.
Wieso das?!
> Eindeutigkeit:
>
> Würde ein 2. Inverses x existieren so müsste es xy=1
> erfüllen.
> Wenn man die Existenz vorsaussetzt folgt aber:
>
> [mm](xy)y^{-1}=1y^{-1}\rightarrow x(yy^{-1})=y^{-1}(AG.,E1)\rightarrow x=y^{-1}(E.I.,E.1)[/mm]
>
> Würde daraus nicht A.8 folgen und daraus dass [mm](K,+,\cdot)[/mm]
> ein Körper ist?
Was ist A.8? Eine Kristallkugel hab ich echt nicht.
> Ich glaub dass ist irgendwie falsch...1. beweise ich die
> Sache ja nicht für alle Körper.
Exakt. Ausserdem sollst du die Aussagen fuer bestimmte Ringe beweisen: wenn es ein Koerper ist, weisst du schon, dass es ein Koerper ist, und du, musst das nicht mehr zeigen.
> (Wäre das auf diesen Weg
> überhaupt möglich?) Zweites habe ich nicht ganz
> verstanden inwiefern die "Endlichkeit" eine Rolle spielt??
Die ist hier sehr wichtig. Du brauchst folgendes: ist $M$ eine endliche Menge und [mm] $\varphi [/mm] : M [mm] \to [/mm] M$ eine Abbildung, so ist [mm] $\varphi$ [/mm] genau dann injektiv, wenn es surjektiv ist.
LG Felix
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Danke Felix!
Das war echt sehr hilfreich!!
War jetzt im Urlaub, deshalb hat es so lange gedauert..
> Warum sollte man hier [mm]K = \IR[/mm] oder [mm]K = \IC[/mm] fixieren? Das
> gilt fuer beliebige Koerper.
Keine Ahnung...So lautete die Aufgabenstellung!
> > c)0=a0+(-a0) (E. [mm]Inversen)\rightarrow[/mm] 0=a(0+0)+(-a0) ( b)
>
> Du meinst (a) und nicht (b), oder?
Nein, ich meinte (b), wegen der E.I. habe ich 0=0+(-0) und weil ja nach (b) 0=-0 ist folgt 0=0+0. Was stimmt daran nicht?
> > die andere:
> > [mm]x^{-1}(ax)=a=0x^{-1}=0[/mm]
>
> Was soll [mm]x^{-1}[/mm] sein? Das gibt es nicht. Du meinst eher
> [mm]a^{-1}[/mm]? Und hier musst du vorher aufpassen, dass [mm]a \neq 0[/mm]
> ist.
Ja genau dass meinte ich. So gilt ja für:
[mm] a\not=0\qquad a^{-1}(ax)=0a^{-1}\rightarrow [/mm] x=0 wie oben, halt mit a.
a=0 hier ist die Behauptung ja sowiso erfüllt.
> > (Mit KG., AG.,E.I., E.1,d)) Für x=0
> > analog.
> >
> > f) 1x+(-1x)=0
> > [mm](E.I.)\rightarrow(x+(-x))+(-1x)=-x(E.1,E.I.,E.0,KG.,AG)[/mm]
>
> Da ich leider keine Kristallkugel hab: was heisst E.1,
> E.I., E.0, KG, AG?
Entschuldige! E.I.-Existenz des Inversen, E.0-Existenz der 0, K.G-Kommutativgesetz, AG-Nicht Aktiengesellschaft sondern Assoziativgesetz.E.1-Existenz der 1
Trotzdem bin ich jetzt im Durchlesen zur Erkenntnis gekommen, dass dieser Beweis nicht stimmt den ich zeige ja -1x=-x was ja nicht dasselbe wie (-1)x=-x ist oder?
Neue Idee:
0=0x=(1+(-1))x=1x+(-1)x woraus die Behauptung mit E.1 folgt.
> > Eindeutigkeit:
> >
> > Würde ein 2. Inverses x existieren so müsste es xy=1
> > erfüllen.
> > Wenn man die Existenz vorsaussetzt folgt aber:
> >
> > [mm](xy)y^{-1}=1y^{-1}\rightarrow x(yy^{-1})=y^{-1}(AG.,E1)\rightarrow x=y^{-1}(E.I.,E.1)[/mm]
>
> >
> > Würde daraus nicht A.8 folgen und daraus dass [mm](K,+,\cdot)[/mm]
> > ein Körper ist?
>
> Was ist A.8? Eine Kristallkugel hab ich echt nicht.
Existenz des Inversen. Stimmt es denn sonst?
>
> > (Wäre das auf diesen Weg
> > überhaupt möglich?) Zweites habe ich nicht ganz
> > verstanden inwiefern die "Endlichkeit" eine Rolle spielt??
>
> Die ist hier sehr wichtig. Du brauchst folgendes: ist [mm]M[/mm]
> eine endliche Menge und [mm]\varphi : M \to M[/mm] eine Abbildung,
> so ist [mm]\varphi[/mm] genau dann injektiv, wenn es surjektiv ist.
Eigentlich dürfte ich den Satz gar nicht verwenden...aber schwindeln wir halt mal ein bisschen!
E.1 [mm] \rightarrow [/mm] 1a=a [mm] \forall a\in K\rightarrow [/mm] Jedes Element von K ist als Produkt [mm] darstellbar\righrtarrow \cdot K\times K\rightarrow [/mm] K ist surjektiv
Weil die Multiplikation nun bijektiv ist muss es eine Umkehrabb. geben und auch eine Operation die ab -> (a,b) trennt. So ist ja gerade das Inverse definiert [mm] a^{-1}(ab)=b [/mm] und [mm] b^{-1}(ab)=a. [/mm] Das heißt es braucht ein Inverses für diese Umkehrabb.
Zusammen mit dem bereits bewiesenen, dass für 0 kein I. existiert und mit der Eindeutigkeit würde doch A. E.1. folgen und damit wären doch alle Bedingungen erfüllt dass [mm] (K,+,\cdot) [/mm] ein Körper ist.
Stimmt das ungefähr?
Gruß
Angelika
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> > > c)0=a0+(-a0) (E. [mm]Inversen)\rightarrow[/mm] 0=a(0+0)+(-a0) ( b)
> >
> > Du meinst (a) und nicht (b), oder?
>
> Nein, ich meinte (b), wegen der E.I. habe ich 0=0+(-0) und
> weil ja nach (b) 0=-0 ist folgt 0=0+0. Was stimmt daran
> nicht?
Hallo,
es ist halt (b) nicht die direkte Begründung für 0=0+0.
>
> > > die andere:
> > > [mm]x^{-1}(ax)=a=0x^{-1}=0[/mm]
> >
> > Was soll [mm]x^{-1}[/mm] sein? Das gibt es nicht. Du meinst eher
> > [mm]a^{-1}[/mm]? Und hier musst du vorher aufpassen, dass [mm]a \neq 0[/mm]
> > ist.
>
> Ja genau dass meinte ich. So gilt ja für:
>
> [mm]a\not=0\qquad a^{-1}(ax)=0a^{-1}
Nein, sondern a^{-1}(ax)=a^{-1}0.
> \rightarrow[/mm] x=0 wie oben,
> halt mit a.
> a=0 hier ist die Behauptung ja sowiso erfüllt.
f)-x=(-1)x
> Neue Idee:
>
> 0=0x=(1+(-1))x=1x+(-1)x woraus die Behauptung mit E.1
> folgt.
Nein, die Folgt doch nicht mit der Existenz der 1. Mit der Existenz der 1 bekommt man 0=...=x+(-1)x,
und hieraus folgt dann die Behauptung, nämlich daß (-1)x das Inverse von x ist.
Gruß v. Angela
P.S.: Daß so lange niemand geantwortet hat, liegt nicht an der Schwierigkeit, sondern an der Unübersichtlichkeit.
Das fängt schon damit an, daß Du drei recht verschiedene Aufgaben in einer Diskussion bearbeitest.
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> > > Eindeutigkeit:
> > >
> > > Würde ein 2. Inverses x existieren so müsste es xy=1
> > > erfüllen.
> > > Wenn man die Existenz vorsaussetzt folgt aber:
> > >
> > > [mm](xy)y^{-1}=1y^{-1}\rightarrow x(yy^{-1})=y^{-1}(AG.,E1)\rightarrow x=y^{-1}(E.I.,E.1)[/mm]
Hallo,
unter der Voraussetzung der Existenz hast Du nu ndie Eindeutigkeit des Inversen gezeigt.
Bleibt die Frage nach der Existenz.
>
> >
> > >
> > > Würde daraus nicht A.8 folgen
Woraus? Aus dem da oben nicht.
> > > (Wäre das auf diesen Weg
> > > überhaupt möglich?) Zweites habe ich nicht ganz
> > > verstanden inwiefern die "Endlichkeit" eine Rolle spielt??
> >
> > Die ist hier sehr wichtig. Du brauchst folgendes: ist [mm]M[/mm]
> > eine endliche Menge und [mm]\varphi : M \to M[/mm] eine Abbildung,
> > so ist [mm]\varphi[/mm] genau dann injektiv, wenn es surjektiv ist.
>
> Eigentlich dürfte ich den Satz gar nicht verwenden...aber
> schwindeln wir halt mal ein bisschen!
>
> E.1 [mm]\rightarrow[/mm] 1a=a [mm]\forall a\in K\rightarrow[/mm] Jedes
> Element von K ist als Produkt [mm]darstellbar\righrtarrow \cdot K\times K\rightarrow[/mm]
> K ist surjektiv
>
> Weil die Multiplikation nun bijektiv ist
Wieso ist die Multiplikation bijektiv?
Nehmen wir mal den Körper [mm] \IQ.
[/mm]
Es ist 2*6=12 und 3*4=12, also nix mit "bijektiv".
Nimm an, daß Du einen endlichen Körper hast mit den n Elementen [mm] 0,1,a_1,...,a_{n-1}.
[/mm]
Mal angenommen, [mm] a_1 [/mm] hätte kein Inverses. Dann wäre [mm] a_1*b\not=1 [/mm] für alle [mm] b\in \{0,1,a_1,...,a_{n-1}\}.
[/mm]
Überlege Dir nun, daß es dann ein von b verschiedenes [mm] c\in \{0,1,a_1,...,a_{n-1}\} [/mm] geben muß mit a_1b=a_1c.
(Das ist das, was Felix oben gesagt hat.)
Führe dies nun zum Widerspruch.
Gruß v. Angela
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