Beweise zu meromorph < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:09 Mo 20.06.2005 | | Autor: | Melli9181 |
Hallo!
Ich hab mal wieder eine Beweisaufgabe, die ich überhaupt nicht verstehe!
Aufgabe:
a) Zeigen sie: Ist f auf dem Gebiet G meromorph und nicht konstant, so ist f(G) offen in [mm] \IC [/mm] (sollte eigentlich [mm] \IC [/mm] mit Dach sein!)
b) Es sei [mm] z_{0} \inU \subset \IC [/mm] und f auf [mm] U-{z_{0}} [/mm] meromorph. Zeigen Sie: Ist [mm] z_{0} [/mm] Häufungspunkt von Polen von f, so gibt es zu jedem [mm] w\in \IC [/mm] eine Folge [mm] (z_{ \nu}) [/mm] in [mm] U-{z_{0}} [/mm] mit [mm] limz_{ \nu}=z_{0} [/mm] und [mm] limf(z_{ \nu})=w.
[/mm]
Ich hab hier zwar einige Sätze aus der Vorlesung zum kapitel Meromorphe Funktionen, aber ich hab das Gefühl keiner der Sätze passt zu den obigen Beweisen!
Ich brauche also mal wieder Hilfestellung und vielleicht einen Hinweis darauf, welche Sätze man für die Beweise brauchen könnte...
Bitte!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Mo 20.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
> b) Es sei [mm]z_{0} \inU \subset \IC[/mm] und f auf [mm]U-{z_{0}}[/mm]
> meromorph. Zeigen Sie: Ist [mm]z_{0}[/mm] Häufungspunkt von Polen
Zunächst eine Frage: Was ist eigentlich ein Häufungspunkt von Polen?
Antwort: Warschau.
> von f, so gibt es zu jedem [mm]w\in \IC[/mm] eine Folge [mm](z_{ \nu})[/mm]
> in [mm]U-{z_{0}}[/mm] mit [mm]limz_{ \nu}=z_{0}[/mm] und [mm]limf(z_{ \nu})=w.[/mm]
Du musst nur den Beweis von Casorati-Weierstraß imitieren.
Wäre das nicht der Fall, dass gäbe es ein [mm] $w_0 \in \IC$, [/mm] so dass
$g(z):= [mm] \frac{1}{f(z)-w_0}$
[/mm]
auf $U [mm] \setminus \{z_0\}$ [/mm] meromorph und beschränkt, also holomorph wäre. Dann wäre $g$ nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz in [mm] $z_0$ [/mm] hinein holomorph fortsetzbar. Andererseits häufen sich in $U$ nach Voraussetzung die Nullstellen von $g$, so dass die holomorphe Fortsetzung von $g$ nach dem Identitätssatz auf $U$ die Nullfunktion sein müsste, Widerspruch.
Viele Grüße
Stefan
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