Beweisen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:43 Sa 30.10.2010 | | Autor: | Peter22 |
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt
[mm] n!\le2(\bruch{n}{2})^{n} [/mm] |
[mm] n!\le\bruch{n^{n}}{2^{n-1}}
[/mm]
[mm] (n-1)!\le\bruch{1}{2^{n-1}}
[/mm]
Ist das so weit richtig?
Kann ich jetzt die Vollständige Inuktion anwenden?
Danke schon mal im Voraus für eure Hilfe
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:07 So 31.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast nur die Formeln umgeschrieben, das leider falsch
1, für n=1 fesstellen ob es richtig ist
2. Ind. Vorraussetzung [mm] $n!\le\bruch{n^{n}}{2^{n-1}}$
[/mm]
daraus dabb die Ind.behauptung [mm] $(n+1)!\le\bruch{(n+1)^{n+1}}{2^{n}}$
[/mm]
> Beweisen Sie, dass für alle [mm]n\in\IN[/mm] gilt
> [mm]n!\le2(\bruch{n}{2})^{n}[/mm]
> [mm]n!\le\bruch{n^{n}}{2^{n-1}}[/mm]
> $ [mm] (n-1)!\le\bruch{1}{2^{n-1}} [/mm] $
das ist falsch, richtig wäre $ [mm] (n-1)!\le\bruch{(n-1)^{n-1}}{2^{n-1}} [/mm] $
>
> Ist das so weit richtig?
Nein du kannst von n auf n+1 schliessen, oder von n-1 auf n
in die formeln dann überall wo n steht entsprechend n+1 bze n-1 eintragen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Mi 03.11.2010 | | Autor: | Peter22 |
[mm] n!=\produkt_{i=1}^{n}i
[/mm]
Induktions Anfang
n= 1
[mm] \produkt_{i=1}^{1}i=1
[/mm]
[mm] 2(\bruch{1}{2})^{1}=1
[/mm]
[mm] 1\le1
[/mm]
Ind. Schritt
[mm] n\mapston+1
[/mm]
[mm] \produkt_{i=1}^{n+1}i\le2(\bruch{n+1}{2})^{n+1}=2(\bruch{n+1}{2})^{n}(\bruch{n+1}{2})=(\bruch{n+1}{2})^{n}(n+1)=(n+1)(\bruch{n+1}{2})^{n}
[/mm]
[mm] \produkt_{i=1}^{n+1}i=\produkt_{i=1}^{n}i*(n+1)\le2(\bruch{n}{2})^{n}(n+1)= [/mm] ... ?
So ist das soweit richtig?
Aber weiter komm ich einfach nicht.
Kann mir da jemand einen Tipp geben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:40 Do 04.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> [mm]n!=\produkt_{i=1}^{n}i[/mm]
>
> Induktions Anfang
> n= 1
> [mm]\produkt_{i=1}^{1}i=1[/mm]
> [mm]2(\bruch{1}{2})^{1}=1[/mm]
>
> [mm]1\le1[/mm]
>
> Ind. Schritt
>
> [mm]n\mapston+1[/mm]
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{n+1}i\le2(\bruch{n+1}{2})^{n+1}=2(\bruch{n+1}{2})^{n}(\bruch{n+1}{2})=(\bruch{n+1}{2})^{n}(n+1)=(n+1)(\bruch{n+1}{2})^{n}[/mm]
Beim ersten " [mm] \le [/mm] " verwendest Du , was zu zeigen ist !! So gehts nicht.
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{n+1}i=\produkt_{i=1}^{n}i*(n+1)\le2(\bruch{n}{2})^{n}(n+1)=[/mm]
> ... ?
Schon besser !
Jetzt zeige noch:
(*) [mm] 2(\bruch{n}{2})^{n}(n+1) \le 2(\bruch{n+1}{2})^{n+1}(n+1)
[/mm]
Durch einfache Äquivalenzumformungen sieht man:
(*) [mm] \gdw $(n+1)(n+1)^{n+1} \ge 2*n^n$
[/mm]
Die letzte Ungl. ist aber zweifelsohne richtig. Warum ?
FRED
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> So ist das soweit richtig?
> Aber weiter komm ich einfach nicht.
> Kann mir da jemand einen Tipp geben?
>
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