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| Aufgabe | Seien a [mm] \in \IR^3 [/mm] und c [mm] \in \IR^3 [/mm] linear unabhängige Vektoren. Für welche Vektoren b [mm] \in \IR^3 [/mm] gilt:
a x (b x c) = (a x b) x c? |
Hallo Leute,
bin bei dieser Aufgabe hängen geblieben. Hab mir die Vektoren ganz allg. hingeschrieben: a=(a1,a2,a3); b=(b1,b2,b3); c=(c1,c2,c3) habe dann bisschen rumgerechnet bin dann auf das gekommen:
b3(-a1c3+a3c1)+b2(-a1c2+a2c1)=0
b1(-a2c1+a1c2)+b3(-a2c3+a3c2)=0
b2(-a3c2+a2c3)+b1(-a3c1+a1c3)=0
Mir sind paar Sachen aufgefallen. 1) Eine Lösung ist die triviale.
2) Das in der Klammer ist jeweils das Kreuzprodukt von a x c bzw c x a
3) a x c muss ungleich 0 sein, weil sie linear unabhängig sind (da bin ich mir aber nicht sicher).
Danke für eure Ideen/Tipps.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:11 Do 24.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Benutze die Graßmann-Identität
$ [mm] \vec{a}\times\left(\vec{b}\times\vec{c}\right) [/mm] = [mm] \vec{b}\,\left(\vec{a}\cdot\vec{c}\right)-\vec{c}\,\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right)\,. [/mm] $
und
$ [mm] \vec{a}\times\vec{b} [/mm] = [mm] -\, \vec{b}\times\vec{a}\,. [/mm] $
FRED
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Boah das ist echt frustrierend. Ich rechne und rechne und komme auf nichts brauchbares. Hab den ersten Tipp von dir nutzen können, weiß aber nicht wo ich den Zweiten anwenden soll. Hab jetzt folgendes:
> [mm]\vec{a}\times\left(\vec{b}\times\vec{c}\right) = \vec{b}\,\left(\vec{a}\cdot\vec{c}\right)-\vec{c}\,\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right)\,.[/mm]
hab das umgeschrieben <a|c>*b-<a|b>*c = <a|cb>-<a|cb>=0 stimmt das? Wenn ja,dann müsste ich mich "nur"noch um die rechte Seite kümmern.
>
> und
>
> [mm]\vec{a}\times\vec{b} = -\, \vec{b}\times\vec{a}\,.[/mm]
>
> FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 Do 24.11.2011 | | Autor: | fred97 |
(a x b) x c=-c x (a xb)
Und jetzt Graßmann
FRED
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Das geht natürlich nicht, weil das Vektoren sind. Hab den Fehler selbst entdeckt.
<a|c>*b-<a|b>*c (1.Teil meines Terms)
<a|c>*b-<b|c>*a (2.Teil meines Terms) Die Umformungen habe ich aus dem Rep.
<a|c>*b-<a|b>*c=<a|c>*b-<b|c>*a Hier fällt schon mal das <a|c>*b schon mal raus.
-<a|b>*c=-<b|c>*a
Wie soll ich weiter machen?
-Antwort c und a sind linear unabhängig, deswegen gibt es nur die triviale Lösung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Sa 26.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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