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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 Do 03.07.2014 | | Autor: | Skippy05 |
| Aufgabe | Hallo,
K ist ein Körper.
1) folgern Sie aus den Körperaxiomen, dass K nullteilerfrei ist
Für alle [mm] x,y$\in$ [/mm] K: x*y=0--> x=0 oder y=0
2)Es sei [mm] n$\in \IN$ [/mm] keine Primzahl, d.h.( es gibt natürliche Zahlen [mm] a,b$\in \IN$ [/mm] mit a,b>1 und n=a*b)
Zu zeigen : [mm] $\IZ$/n [/mm] ist kein Körper |
Den ersten Teil habe ich glaube soweit hinbekommen...
1)D.h. Wenn [mm] a$\not=$0 [/mm] dann und a*b=0. dann kann man auch a*b mit einem inversen multipliezieren und das Ergebnis muss
gleich bleiben da in einem Körper Kommutativgesetz gilt.
0=a$^{-1}$*0=a$^{-1}$*(a*b)=(a$^{-1}$*a)*b=1*b=b
D.h.das b=0 und Körper nullteilerfrei sind
Beim 2). Weiss ich nicht genau wie ich das zeigen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:33 Do 03.07.2014 | | Autor: | hippias |
> Hallo,
>
> K ist ein Körper.
> 1) folgern Sie aus den Körperaxiomen, dass K
> nullteilerfrei ist
> Für alle x,y[mm]\in[/mm] K: x*y=0--> x=0 oder y=0
>
> 2)Es sei n[mm]\in \IN[/mm] keine Primzahl, d.h.( es gibt natürliche
> Zahlen a,b[mm]\in \IN[/mm] mit a,b>1 und n=a*b)
> Zu zeigen : [mm]\IZ[/mm]/n ist kein Körper
> Den ersten Teil habe ich glaube soweit hinbekommen...
>
> 1)D.h. Wenn a[mm]\not=[/mm]0 dann und a*b=0. dann kann man auch a*b
> mit einem inversen multipliezieren und das Ergebnis muss
> gleich bleiben da in einem Körper Kommutativgesetz gilt.
Diesen Satz versteht doch kein Mensch! Interessanterweise kann man trotzdem daraus ableiten, dass Du falsch gedacht hast, denn das Kommutativgesetz benoetigt man gar nicht. Ich vermutet Du meinst etwas anderes.
> 0=a[mm]^{-1}[/mm]*0=a[mm]^{-1}[/mm]*(a*b)=(a[mm]^{-1}[/mm]*a)*b=1*b=b
Diese Rechnung ist richtig und passend zur Fragestellung.
>
> D.h.das b=0 und Körper nullteilerfrei sind
>
> Beim 2). Weiss ich nicht genau wie ich das zeigen soll.
>
[mm] $\IZ/n$ [/mm] ist nach Definition ein Ring. Mindestens eine der Bedingungen fuer einen Koeper ist in ihm nicht erfuellt. Gehe sie alle durch und Du findest heraus welche.
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Do 03.07.2014 | | Autor: | Skippy05 |
> > Hallo,
> Diesen Satz versteht doch kein Mensch! Interessanterweise
> kann man trotzdem daraus ableiten, dass Du falsch gedacht
> hast, denn das Kommutativgesetz benoetigt man gar nicht.
> Ich vermutet Du meinst etwas anderes.
Oh ich habe grad die andere Aufgabe parallel bearbeitet, und meine Antwort nicht durchgelesen.
Ich wollte nur sagen, dass wenn a und b mit a*b=0 mit eine anderen reellen Zahl multipliziert werden,
ändert es nicht an der Tatsache das a*b=0 bleibt.
Und daraus folgt das wenn die [mm] a$\not=$0 [/mm] dann muss b=0 sein.
> > 0=a[mm]^{-1}[/mm]*0=a[mm]^{-1}[/mm]*(a*b)=(a[mm]^{-1}[/mm]*a)*b=1*b=b
> Diese Rechnung ist richtig und passend zur Fragestellung.
> >
> > D.h.das b=0 und Körper nullteilerfrei sind
> >
> > Beim 2). Weiss ich nicht genau wie ich das zeigen soll.
> >
> [mm]\IZ/n[/mm] ist nach Definition ein Ring. Mindestens eine der
> Bedingungen fuer einen Koeper ist in ihm nicht erfuellt.
> Gehe sie alle durch und Du findest heraus welche.
Ok
Addition ist abgeschlossen, weil:
1. Assoziativ- und Kommutativgesetze gelten
a+(b+c)=(a+b)+c
2. Neutraleselement der Addition ist 0
3. Existenz der negativen
a+(-a)=0
4. Distributivgesetz gilt bei Addition und Multiplikation
Multiplikation aber...
1. Assoziativ- und Kommutativgesetze gelten
a+(b+c)=(a+b)+c
2. Neutraleselement der Multiplikation ist 1
3. kein multiplikatives Inverse,
da Inverse von [mm] a=$\bruch{1}{a}
[/mm]
Aber wie soll ich das beweisen oder zeigen?
Danke!
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Hallo,
> > > Hallo,
>
> > Diesen Satz versteht doch kein Mensch! Interessanterweise
> > kann man trotzdem daraus ableiten, dass Du falsch gedacht
> > hast, denn das Kommutativgesetz benoetigt man gar nicht.
> > Ich vermutet Du meinst etwas anderes.
>
> Oh ich habe grad die andere Aufgabe parallel bearbeitet,
> und meine Antwort nicht durchgelesen.
> Ich wollte nur sagen, dass wenn a und b mit a*b=0 mit eine
> anderen reellen Zahl multipliziert werden,
Mit eine Zahl?
Mit einer (!!) Zahl
> ändert es nicht an der Tatsache das a*b=0 bleibt.
> Und daraus folgt das wenn die a[mm]\not=[/mm]0 dann muss b=0 sein.
Bah, sehr gut formuliert ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Aber dem Sinn nach richtig
>
> > > 0=a[mm]^{-1}[/mm]*0=a[mm]^{-1}[/mm]*(a*b)=(a[mm]^{-1}[/mm]*a)*b=1*b=b
> > Diese Rechnung ist richtig und passend zur
> Fragestellung.
> > >
> > > D.h.das b=0 und Körper nullteilerfrei sind
> > >
> > > Beim 2). Weiss ich nicht genau wie ich das zeigen soll.
> > >
> > [mm]\IZ/n[/mm] ist nach Definition ein Ring. Mindestens eine der
> > Bedingungen fuer einen Koeper ist in ihm nicht erfuellt.
> > Gehe sie alle durch und Du findest heraus welche.
>
> Ok
> Addition ist abgeschlossen, weil:
> 1. Assoziativ- und Kommutativgesetze gelten
> a+(b+c)=(a+b)+c
> 2. Neutraleselement der Addition ist 0
> 3. Existenz der negativen
> a+(-a)=0
> 4. Distributivgesetz gilt bei Addition und Multiplikation
>
> Multiplikation aber...
> 1. Assoziativ- und Kommutativgesetze gelten
> a+(b+c)=(a+b)+c
> 2. Neutraleselement der Multiplikation ist 1
> 3. kein multiplikatives Inverse,
> da Inverse von [mm]a=[mm]\bruch{1}{a}[/mm]
>
> Aber wie soll ich das beweisen oder zeigen?
Du kannst dir die 1.Aufgabe zu Nutze machen.
Zeige: Es gibt Nullteiler. Damit kann nach Aufgabe 1 [mm]\IZ/n[/mm] kein Körper sein.
> Danke!
>
>
>
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:04 Do 03.07.2014 | | Autor: | Skippy05 |
Also ich verstehe langsam nichts mehr...
Eine/r sagt mach so, der andere so...
Was ist denn jetzt richtig....
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Hallo,
> Also ich verstehe langsam nichts mehr...
> Eine/r sagt mach so, der andere so...
> Was ist denn jetzt richtig....
Das kannst du halten wie ein Dachdecker.
Entweder zeige, dass eines der Körperaxiome verletzt ist oder zeige, dass [mm] $\IZ/a\cdot{}b$ [/mm] Nullteiler hat.
Sinnvoller scheint mir der zweite Ansatz; das ist sicher auch im Sinne des Aufgabenstellers, sonst wären die Aufgaben nicht im selben Kontext gestellt ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:31 Do 03.07.2014 | | Autor: | Skippy05 |
Hallo schachuzipus,
> Entweder zeige, dass eines der Körperaxiome verletzt ist
> oder zeige, dass [mm]\IZ/a\cdot{}b[/mm] Nullteiler hat.
Ist das was ich oben geschrieben habe, alles falsch?
> Sinnvoller scheint mir der zweite Ansatz; das ist sicher
> auch im Sinne des Aufgabenstellers, sonst wären die
> Aufgaben nicht im selben Kontext gestellt ...
Ok dann...
Nichtteiler ist wenn [mm] a$\not=$0 [/mm] und [mm] b$\not=$0 [/mm] aber a*b=0 ist.
Aus der Vorraussetzung a*b=n folgt dass a*b=n ist und n=0
Dann
[mm] 0=$a^{-1}$*a*b=($a^{-1}$*a)*b=1*b=b
[/mm]
D.h b=0 -->was der Vorraussetzung widerspricht nämlich dass [mm] b$\not=0$ [/mm] sein soll.
Also kommt bei mir immer raus das es ein Körper ist, da es halt Nullteilerfrei ist.
Sorry aber ich verstehe nicht wie ich das mit dem aus 1.) zeigen soll.
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:25 Fr 04.07.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn n=a*b ist was ist dann in Z/n a*b?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:15 Fr 04.07.2014 | | Autor: | Skippy05 |
Hallo zusammen,
Hallo leduart
>wenn n=a*b ist was ist dann in Z/n a*b?
Was meinst du mit: was ist a*b mod n?
Hallo hippias,
>Das ist doch vollkommen das gleiche: Wenn der Ring Nullteiler ist das Axiom von der multiplikativen Inversen verletzt.
>Und Du hast ja richtig bemerkt, dass es genau dieses Axiom ist, welches nicht erfuellt ist. Wie hast Du es denn bemerkt? Erklaere es, >und Du hast Deine Hausaufgabe fertig. Es hat natuerlich etwas mit der Voraussetzung zu tun, dass nicht prim ist. Ein Beispiel: . Ich >behaupte, dass die Restklassen der und Nullteiler sind.
Multiplikatives Invrse von a=1/a und 1/a ist keine natürliche Zahl.
Also kein multiplikatives inverse.
Dein Beispiel:
n=15 keine Primzahl und a*b= 3*5 wobei a und b Primzahlen sind.
Also 3*5=0 dabei [mm] a$\not=$0 [/mm] und [mm] b$\not=$0
[/mm]
Jetzt sehe ich, oh man ich habe die Aufgabe falsch abgelesen. Ich dachte alle Zahlen sollen keine Primzahlen sein, das betrifft aber nur n.
Danke für dein Beispiel und Hinweis!!
Dann muss es im Beweis auch so sein..
[mm] a$\not=$0 [/mm] und [mm] b$\not=$0 [/mm] und beide Primzahlen sind.
Und a*b=n wobei n keine Primzahl ist.
Reicht es so?! Oder muss ich noch was zeigen?
Danke!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 Fr 04.07.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ausser dass ja a und b keine Primzahlen sein müssen, Bp n=36=9*4
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:13 Do 03.07.2014 | | Autor: | hippias |
Das ist doch vollkommen das gleiche: Wenn der Ring Nullteiler ist das Axiom von der multiplikativen Inversen verletzt.
Und Du hast ja richtig bemerkt, dass es genau dieses Axiom ist, welches nicht erfuellt ist. Wie hast Du es denn bemerkt? Erklaere es, und Du hast Deine Hausaufgabe fertig. Es hat natuerlich etwas mit der Voraussetzung zu tun, dass $n$ nicht prim ist. Ein Beispiel: $n=15$. Ich behaupte, dass die Restklassen der $3$ und $5$ Nullteiler sind.
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