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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 Do 05.08.2004 | | Autor: | Sandycgn |
Ist eine Funktion f integrierbar und F eine Stammfunktion von f, so gilt:
$ [mm] \integral_{a}^{b} f(px+q)\, [/mm] dx = [mm] \bruch{1}{p} [/mm] F(px + q) [mm] \left|_a^b $ (für $ p \not=0 $ )!
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:48 Do 05.08.2004 | | Autor: | andreas |
hi
ich nehem mal an, da ist ein x verloren gegangen und du willst zeigen, dass
[m] \displaystyle{ \int_a^b f(px + q) \; \text{d}x = \left. \frac{1}{p} F(px + q) \right|_{x=a}^b \qquad \text{für } p \not= 0, \; F'(x) = f(x), \; F \text{ stetig differenzierbar}} [/m]
gesetzt den fall du darfst integration durch substitution voraussetzen, dann ist das durch die substitution [m] y = px + q [/m] sofort erledigt, wenn nicht müsste man sich was überlegen, da fällt mir so ad hoc nichts ein.
melde dich nochmal, ob du mit diesen informationen schon bedient bist, oder was du voraussetzen darfst.
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:13 Do 05.08.2004 | | Autor: | Sandycgn |
Könnte viell. jemand einen kompletten Lösungsweg hinschreiben?
Mir ist nicht ganz klar, was mit der Schreibweise ausgedrückt werden soll. soll f(px+q) heißen, dass wir ne Funktion mit y=px+q haben?
Wenn ja, dann würde ja auch heißen, dass f(x) y0x bedeuten würde.
Ich versteh das irgendwie nicht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:10 Do 05.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Sandycgn,
> Könnte viell. jemand einen kompletten Lösungsweg
> hinschreiben?
Es scheint, als ob unser Forum nicht deiner Intuition entgegenkommt -- Es wäre nett, wenn "Mitteilungsarktikel" keine Fragen enthalten, da sie sonst leicht übersehen werden.
> Mir ist nicht ganz klar, was mit der Schreibweise
> ausgedrückt werden soll. soll f(px+q) heißen, dass wir ne
> Funktion mit y=px+q haben?
Nein, das soll heißen, dass in die Funktion f der Term "px+q" eingesetzt wird.
Beispiel:
Du hast die Funktion [mm] $f(x)=3x^2+4x$. [/mm] Deren Stammfunktion ist (u.a.) bekanntlich [mm] $F(x)=x^3+2x^2$.
[/mm]
Nun siehst du das Integral [mm] $\integral 3(2x-1)^2+4(2x-1)\;dx$ [/mm] und kannst nun folgendes erkennen und schreiben:
[mm] $\integral 3(2x-1)^2+4(2x-1)\;dx=\integral f(2x-1)\;dx=\integral f(px+q)\;dx$ [/mm] mit p=2 und q=-1
[mm] $=\bruch{1}{p}*F(px+q)=\bruch{1}{2}*F(2x-1)=\bruch{1}{2}*(2x-1)^3+2(2x-1)^2$
[/mm]
So konntest du die Integration der "neuen" Funktion [mm] $3(2x-1)^2+4(2x-1)$ [/mm] auf die Integration der alten Funktion [mm] $3x^2+4x$ [/mm] zurückführen -- mit der obigen Regel.
> Wenn ja, dann würde ja auch heißen, dass f(x) y0x bedeuten
> würde.
> Ich versteh das irgendwie nicht
Jetzt?
Es bleibt ja noch für dich, die Behauptung zu beweisen (dazu habe ich ja auch bereits einen Tipp gegeben).
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Do 05.08.2004 | | Autor: | Sandycgn |
o, sorry, ich habe immer auf das falsche Kästchen geklickt, werde ab sofort das richtige anklicken, wenn ich weitere Fragen habe....
Hmmmm... Vielen Dank. Das ist ja alles sehr einleuchtend jetzt.
Ich frage mich nun, wie ich das beweisen soll?!?! Wie lautet denn die allg. Formel für JEDE Funktionsart? Die gibt's doch gar nicht. Die bräuchte ich doch um das zu beweisen, oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 Do 05.08.2004 | | Autor: | Sandycgn |
Wenn man diese Erkenntnis dann anwendet, dann müsste das an folgendem Beispiel ja so aussehen, oder?:
$ [mm] \integral_{}{} \bruch{1}{5x + 6}\, [/mm] dx $
Dann nehme ich der Einfachkeit halber folgendes Integral:
$ [mm] \integral_{}{} \bruch{1}{x}\, [/mm] dx = ln [mm] \left| x \right| [/mm] = F(X) $
$ [mm] \rightarrow [/mm] $ $ F(5x + 6) = ln [mm] \left| 5x + 6 \right| [/mm] $
mit $ p = 5$ und $ q = 2 $
$ [mm] \rightarrow [/mm] $ $ [mm] \integral_{}{} \bruch{1}{5x + 6}\, [/mm] dx = [mm] \bruch{1}{5} [/mm] * ln [mm] \left| 5x + 6 \right| [/mm] $
Stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:23 Do 05.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Sandycgn!
> Wenn man diese Erkenntnis dann anwendet, dann müsste das an
> folgendem Beispiel ja so aussehen, oder?:
>
> [mm]\integral_{}{} \bruch{1}{5x + 6}\, dx[/mm]
>
> Dann nehme ich der Einfachkeit halber folgendes Integral:
>
> [mm]\integral_{}{} \bruch{1}{x}\, dx = ln \left| x \right| = F(X)[/mm]
>
> [mm]\rightarrow[/mm] [mm]F(5x + 6) = ln \left| 5x + 6 \right|[/mm]
> mit [mm]p = 5[/mm]
> und [mm]q = 2[/mm]
>
> [mm]\rightarrow[/mm] [mm]\integral_{}{} \bruch{1}{5x + 6}\, dx = \bruch{1}{5} * ln \left| 5x + 6 \right|[/mm]
>
>
> Stimmt das so?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Nun siehst du, dass man mit dieser Formel eine ganze Reihe weiterer Funktionen integrieren kann.
Viele Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:30 Do 05.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Sandycgn!
> Hmmmm... Vielen Dank. Das ist ja alles sehr einleuchtend
> jetzt.
>
> Ich frage mich nun, wie ich das beweisen soll?!?! Wie
> lautet denn die allg. Formel für JEDE Funktionsart? Die
> gibt's doch gar nicht. Die bräuchte ich doch um das zu
> beweisen, oder?
Verstehe ich nicht ganz?! ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]")
Was meinst du mit jeder Funktionsart? Meinst du damit, dass man das f nicht kennt?
Falls du das meinst: Obwohl du f (und damit natürlich auf F) nicht kennst, kannst du [mm] $\bruch{1}{p}*F(px+q)$ [/mm] ableiten und bestätigen, dass diese Ableitung f(px+q) ist.
Die ganze zu zeigende Behauptung läßt sich auch so formulieren:
F Stammfunktion zu f [mm] $\Rightarrow$ $\bruch{1}{p}*F(px+q)$ [/mm] Stammfunktion zu f(px+q)
oder noch anders und kompakter, aber äquivalent:
$F'=f$ [mm] $\Rightarrow$ $\left(\bruch{1}{p}*F(px+q)\right)'=f(px+q)$
[/mm]
Diese letzte Aussage würde ich versuchen zu zeigen (Tipp: Kettenregel anwenden).
Falls du es noch nicht hinbekommst, melde dich bitte nochmal, dann führe ich es vor (ist aber nur eine Zeile, also erwarte nichts spektakuläres).
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:08 Fr 06.08.2004 | | Autor: | Sandycgn |
Ooooo, ja! Danke! Das ist ja so easy!
Moment, hier ist meine Lösung:
$ [mm] [(\bruch [/mm] {1}{p} * F(px + q)]' = f(px + q) $
Kettenregel: $ [ [mm] \bruch [/mm] {1}{p} * F(h(x))]' = [mm] \bruch [/mm] {1}{p} * F'(h(x)) * h'(x) $
$ [mm] [(\bruch [/mm] {1}{p} * F(px + q)]' = [mm] \bruch{1}{p} [/mm] * f(px + q) * p $
Dann kürze ich das $ p $ weg und erhalte:
$ f(px + q) $
Sooo einfach im Grunde! Ich komme manchmal auf die einfachsten Dinge nicht. Das ist ja wie verhext.
Aber diese Formel braucht man doch nicht, oder? Also eigtl. ist das ja so schon klar! Zumindest berücksichtigt man das doch immer bei der Integration...
Vielen lieben Dank jedoch!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:52 Fr 06.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Sandycgn!
> Ooooo, ja! Danke! Das ist ja so easy!
> Moment, hier ist meine Lösung:
>
> [mm][(\bruch {1}{p} * F(px + q)]' = f(px + q)[/mm]
>
> Kettenregel: [mm][ \bruch {1}{p} * F(h(x))]' = \bruch {1}{p} * F'(h(x)) * h'(x)[/mm]
>
>
> [mm][(\bruch {1}{p} * F(px + q)]' = \bruch{1}{p} * f(px + q) * p[/mm]
>
>
> Dann kürze ich das [mm]p[/mm] weg und erhalte:
>
> [mm]f(px + q)[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Exakt 
> Sooo einfach im Grunde! Ich komme manchmal auf die
> einfachsten Dinge nicht. Das ist ja wie verhext.
> Aber diese Formel braucht man doch nicht, oder? Also
> eigtl. ist das ja so schon klar! Zumindest berücksichtigt
> man das doch immer bei der Integration...
Welche Formel meinst du denn hier? Die, dass F'=f ist?
Ich nehme auch mal an, dass dir die exakte Formulierung eines solchen Beweises Probleme bereitet, deswegen versuche ich mich mal an einer solchen:
Vor.: f integrierbar, F Stammfunktion von f
Beh.: $ \integral_{a}^{b} f(px+q)\, dx = \bruch{1}{p} F(px + q) \left|_a^b $ (für $ p \not=0 $ )!
Bew.: Setze g(x):=f(px+q) und $G(x):=\bruch{1}{p} F(px + q)$
Es ist nur zu zeigen, dass G'(x)=g(x), weil dann nach dem Hauptsatz in der Integral- und Differenzialrechnung gilt: $\integral_a^b g(x)\;dx=G(b)-G(a)=\left.G(x)\right|_a^b$.
$G'(x)$
$=\left(\bruch{1}{p} F(px + q)\right)'$ (Kettenregel)
$=p*\bruch{1}{p}*F'(px+q)$
$=F'(px+q)$ (es ist F'=f nach Voraussetzung, da F Stammfunktion zu f ist)
$=f(px+q)$
$=g(x)$ $\Box$
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:58 Fr 06.08.2004 | | Autor: | Sandycgn |
Nein, ich meine das $ [mm] \bruch{1}{p} [/mm] F(px + q) $
Beim Integrieren selbst, wie auch bei meinem Beispiel, merke ich doch, dass ich dann beim ableiten bspweise. das fünffache habe. Also schreibe ich dann vor die Stammfunktion $ [mm] \bruch{1}{5} [/mm] $.
Danke jedenfalls für deine Bemühungen. Du hast Recht, mit den exakten mathemat. Ausdrücken tu ich mich noch sehr schwer, v.a. weil in der Schule damals nie soviel Wert darauf gelegt wurde...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 Do 05.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Sandycgn,
> Ist eine Funktion f integrierbar und F eine Stammfunktion
> von f, so gilt:
>
> [mm]\integral_{a}^{b} f(p+q)\, dx = \bruch{1}{p} F(px + q) \left|_a^b[/mm]
> (für [mm]p \not=0[/mm] )!
Hier reicht es doch einfach, den Hauptsatz der Integral- und Differenzialrechnung zu überprüfen, also zu zeigen, dass [mm] $\left(\bruch{1}{p} F(px + q)\right)'=f(px+q)$.
[/mm]
Oder übersehe ich etwas?
Viele Grüße,
Marc
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