Beweisen einer Aussage < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien A, B, C Teilmengen einer Menge X. Zeigen Sie:
A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C)=(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C). |
Hallo,
ich sitze hier gerade an dem Übungsblatt, das ich bearbeiten muss und bräuchte für die Aufgabenstellung einen Ansatz. In der Vorlesung ist die Dozentin nicht besonders auf das Zeigen bzw. Beweisen von Aussagen eingegangen und ich würde zumindest gerne einen Ansatz dazu haben.
Ich möchte keine konkrete Lösung sondern am liebsten den ungefähren Lösungsweg haben. Sobald ich eine Idee habe, werde ich diese hier auch aufschreiben, aber im Moment tappe ich echt im Dunkeln.
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 Mi 12.10.2011 | | Autor: | fred97 |
Mach es in 2 Schritten:
1. Nimm ein $x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C)$ und zeige: x [mm] \in [/mm] A $ [mm] \cap [/mm] $ B) $ [mm] \cup [/mm] $ (A $ [mm] \cap [/mm] $ C).
2. Nimm ein x [mm] \in [/mm] A $ [mm] \cap [/mm] $ B) $ [mm] \cup [/mm] $ (A $ [mm] \cap [/mm] $ C) und zeige: $x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C)$
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:51 Mi 12.10.2011 | | Autor: | Michi46535 |
Vielen Dank für den Ansatz. Ich schaue mal, ob ich das hinbekomme. Wenn ich nicht mehr weiter weiß, melde ich mich nochmal.
Gruß
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Ich weiß nicht genau, wie ich nach den genannten Schritten weitermachen soll. Ich weiß zwar, dass es der Durchschnitt über Vereinigung ist und das dem Distrubtivgesetz folgt (richtig?), aber was ich nun konkret tun soll weiß ich nicht bzw. wie genau ich das zeigen soll. Es wäre ganz lieb, wenn ich die Lösung zu dem ersten Schritt (evt. mit kurzer Erklärung ) bekommen könnte.
Vielen Dank!
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Hallo Michi,
> Ich weiß nicht genau, wie ich nach den genannten Schritten
> weitermachen soll. Ich weiß zwar, dass es der Durchschnitt
> über Vereinigung ist und das dem Distrubtivgesetz folgt
> (richtig?), aber was ich nun konkret tun soll weiß ich
> nicht bzw. wie genau ich das zeigen soll. Es wäre ganz
> lieb, wenn ich die Lösung zu dem ersten Schritt (evt. mit
> kurzer Erklärung ) bekommen könnte.
Der erste Schritt besteht darin, dir die Definitionen und die schon bewiesenen Rechnenregeln anzusehen. Die kannst du nämlich bei Bedarf verwenden.
Ansonsten gehe stur über die Definition:
Die eine Richtung mal etwas weiter:
[mm]x\in \ A \ \cap \ (B \ \cup \ C)[/mm]
[mm]\Rightarrow x\in \ A \ \wedge \ x\in \ (B \ \cup \ C)[/mm]
Nach Definition von "[mm]\cap[/mm]"
[mm]\Rightarrow ...[/mm]
Nun verwende für die hintere Klammer die Def. von "[mm]\cup[/mm]", dann steht es doch schon fast da.
Dann mache dich an die andere Richtung.
Alternativ überlege, inwieweit du die [mm]\Rightarrow[/mm] durch [mm]\gdw[/mm] ersetzen kannst/darfst.
Wenn du sämtliche Implikationen durch Äquivalenzen ersetzen darfst, so hast du beide Beweisrichtungen mit einer Klappe erschlagen ...
> Vielen Dank!
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:54 Mi 12.10.2011 | | Autor: | Michi46535 |
Jetzt habe ich es endlich kapiert. Vielen Dank :)
Ich werde morgen mal die Lösung hier posten.
Gruß
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So ich denke ich habe jetzt die Lösung:
A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C) = (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)
Ich schreibe die Lösung mal in verkürzter Form hin:
Linke Seite:
x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C) [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] B [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] C)
Rechte Seite:
x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C) [mm] \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B) [mm] \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] C)
Ist das richtig so? Reicht es dann noch zu schreiben, dass hier das Distrubtivgesetz greift?
Die Zwischenschritte habe ich mir hier jetzt einfach gespart (auf dem Zettel, den ich abgeben muss natürlich nicht :P), weil ich eigentlich denke, dass das richtig ist. Wenn was nicht stimmt, poste ich die noch.
Vielen Dank für die Hilfe :)
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Hallo nochmal,
> So ich denke ich habe jetzt die Lösung:
> A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C) = (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C)
>
> Ich schreibe die Lösung mal in verkürzter Form hin:
>
> Linke Seite:
> x [mm]\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C) [mm]\gdw[/mm] x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] (x [mm]\in[/mm] B [mm]\vee[/mm] x [mm]\in[/mm] C)
>
> Rechte Seite:
> x [mm]\in[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C) [mm]\gdw[/mm] (x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] B) [mm]\vee[/mm] (x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] C)
>
> Ist das richtig so?
Naja, eigentlich stehen da nur die Definitionen für die linke und rechte Seite der zu zeigenden Aussage.
Das Wichtige an dem Beweis ist ja die Überführung der einen in die andere Seite und umgekehrt, bzw. die äquivalente Überführung der einen Seite in die andere ...
> Reicht es dann noch zu schreiben, dass
> hier das Distrubtivgesetz greift?
Das kannst du als Begründung für den nächsten Umformungsschritt dazuschreiben.
> Die Zwischenschritte habe ich mir hier jetzt einfach
> gespart (auf dem Zettel, den ich abgeben muss natürlich
> nicht :P), weil ich eigentlich denke, dass das richtig ist.
Naja, das können wir schlecht beurteilen ohne sie zu sehen 
Die Zwischenschritte sind halt entscheidend für die Korrektur und damit die Bewertung und Punktevergabe für die Aufgabe.
> Wenn was nicht stimmt, poste ich die noch.
Das können wir - wie gesagt - nicht entscheiden. Das liegt jetzt bei dir:
Wenn du ganz sicher gehen willst und genaue Korrektur unsererseits möchstest, wirst du nicht umhin kommen, die Zwischenschritte doch zu posten
> Vielen Dank für die Hilfe :)
Gruß
schachuzipus
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So ich habe mich nun noch einmal rangesetzt.
Für die linke Seite:
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] B [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] C)
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] B [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] C
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] ( A [mm] \cap [/mm] C) (Distributivgesetz
[mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C) [mm] \subset [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)
Für die rechte Seite:
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] B [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] C
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C) (Distributivgesetz)
[mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C) [mm] \supset [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)
Somit habe ich doch bewiesen, dass die Aussage stimmt oder?
Ist die Lösung so stimmig oder sind noch grobe Patzer darin bzw. habe ich etwas vergessen?
Ich weiß jetzt nur nicht genau, wie ich das aufschreiben soll bzw. wie ich das noch genauer formulieren soll.
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Hallo nochmal,
das geht in die richtige Richtung, du musst aber (und das gerade zu Beginn des Studiums) höllisch aufpassen, dass du auf einer Ebene bleibst.
Du hast teilweise Mengen- und Aussagenebene vermischt.
Außerdem solltste du Klammern setzen, um "Grüppchen" deutlicher abzugrenzen
> So ich habe mich nun noch einmal rangesetzt.
>
> Für die linke Seite:
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] (x [mm]\in[/mm] B [mm]\vee[/mm] x [mm]\in[/mm] C)
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] B [mm]\vee[/mm] x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] C
Das ist sinnlos.
Was soll [mm]A\wedge B[/mm] bedeuten?
Richtig: [mm]\Rightarrow (x\in A \ \wedge \ x\in B) \ \vee \ (x\in A \ \wedge \ x\in C)[/mm]
Das ist das Distributivgesetz in der Logik
Nun noch einen Zwischenschritt, es soll ja möglichst ausführlich und kleinschrittig bewiesen werden, die Korrektoren wollen ja sehen, dass du mit den Definitionen jonglieren kannst ...
[mm]\Rightarrow x\in(A\cap B) \ \vee \ x\in(A\cap C)[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] ( A [mm]\cap[/mm] C)
> (Distributivgesetz
> [mm]\Rightarrow[/mm] A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C) [mm]\subset[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C) (![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") )
>
> Für die rechte Seite:
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C)
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] B [mm]\vee[/mm] x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] C
Hier wieder ...
Das ist so, wie es dasteht, komplett unsinnig, du kannst Mengen nicht mit logischen Operatoren verknüpfen.
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C) (Distributivgesetz)
> [mm]\Rightarrow[/mm] A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C) [mm]\supset[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (A
> [mm]\cap[/mm] C)
>
> Somit habe ich doch bewiesen, dass die Aussage stimmt
> oder?
> Ist die Lösung so stimmig oder sind noch grobe Patzer
> darin bzw. habe ich etwas vergessen?
Flicke das noch ein wenig bei und achte peinlich genau darauf, auf welcher Ebene du rumturnst, du darfst das nicht vermischen ...
> Ich weiß jetzt nur nicht genau, wie ich das aufschreiben
> soll bzw. wie ich das noch genauer formulieren soll.
Das ist schon ok, wenn du die Fehler ausbesserst.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:52 Do 13.10.2011 | | Autor: | Michi46535 |
Ja das stimmt. Ich bin auch zwischendurch ziemlich durcheinander gekommen. Ich muss das unbedingt noch richtig auseinander halten. Ich bin aber froh, dass der Rest stimmt. Ich denke das Thema hat sich dann erledigt bzw. die Aufgabe.
Danke für die Mühe und Geduld :)
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