Beweisprinzip mit v. Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, ich muss folgende Aufgabe machen, aber ich weiss nicht, wie ich anfangen soll. Ich habe schon im Bücher über dieses Thema gesucht, aber das hilf mir nicht so viel.
Summenformeln mit vollständiger Induktion beweisen:
Für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] s_{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} k^{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6} [/mm] n(n+1)(2n+1)
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Hallo Hetfield,
weißt Du denn, wie vollständige Induktion geht? Hast Du das schonmal gemacht, vielleicht für eine einfacheres Beispiel wie [mm] \summe_{k=1}^{n}k=\bruch{n(n+1)}{2} [/mm] ?
> Hallo, ich muss folgende Aufgabe machen, aber ich weiss
> nicht, wie ich anfangen soll. Ich habe schon im Bücher
> über dieses Thema gesucht, aber das hilf mir nicht so
> viel.
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> Summenformeln mit vollständiger Induktion beweisen:
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> Für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt: [mm]s_{n}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n} k^{2}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{6}[/mm] n(n+1)(2n+1)
Vorab: die Formel stimmt, ist also zu beweisen.
Als Induktionsanfang zeigst Du erst einmal, dass die Formel für ein bestimmtest n gilt, am besten für n=1. Ab da wird dann Deine Induktion laufen. (Vielleicht gilt die Formel ja erst ab 1001=7*11*13, aber das ist eher eine Hoffnung aus den Nächten Arabiens...)
Dann machst Du die Induktionsvoraussetzung, also: es gibt ein n, für das die Formel gilt.
Im Induktionsschritt zeigst Du dann, dass sie auch für (n+1) gilt, also dass [mm] \summe_{k=1}^{n+1}k^2=\bruch{1}{6}(n+1)(n+2)(2n+3) [/mm] ist.
Probier mal, wie weit Du nun damit kommst und stell Deine Rechnung mit den wesentlichen Schritten hier ein. Dann können wir Dir bestimmt die nötigen Tipps geben.
Grüße
reverend
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Hi reverend,
danke für die schnelle Antwort. Ich habe bis jetzt nicht viel damit geübt. Ich lesse jetzt deine Erklärung. Im kurzem antworte ich dir nochmal.
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Ich bin bis jetzt auf folgendes gekommen, aber ich weiss nicht, was dann kommt.
[mm] \summe_{k=1}^{k+1} k_{2} [/mm] =[ [mm] \summe_{k=1}^{k} k^{2} [/mm] ] + (k+1) =
[mm] \bruch{(k+1)(k+2)(2k+3)+6(k+1)}{6} [/mm] =
[(k+1)(k+2)(2k+3)]/6 + [mm] \bruch{6(k+1)}{6} [/mm] =
nach meinen Rechnungen komme ich dann ganz durcheinander und nicht weiter.
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Hallo Hetfield976,
> Ich bin bis jetzt auf folgendes gekommen, aber ich weiss
> nicht, was dann kommt.
>
> [mm]\summe_{k=1}^{k+1} k_{2}[/mm] =[ [mm]\summe_{k=1}^{k} k^{2}[/mm] ] + (k+1) =
Wenn du k als Laufindex nimmst, solltest du [mm]n[/mm] (bzw. [mm]n+1[/mm]) als obere Grenze nehmen.
Wieso [mm]+(k+1)[/mm] ? Du summierst doch lauter Quadrate, also wenn überhaupt [mm]+(k+1)^2[/mm]
Richtig ist es aber so: [mm]\sum\limits_{k=1}^{\red{n+1}}k^2=\left[ \ \sum\limits_{k=1}^{\red{n}}k^2 \ \right] \ + \ \red{(n+1)^2} \ \ \ (\star)[/mm]
>
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> [mm]\bruch{(k+1)(k+2)(2k+3)+6(k+1)}{6}[/mm] =
Wieder Pfusch!
Laut Induktionsvoraussetzung kannst du die Summe oben, die von [mm]k=1[/mm] bis [mm]k=n[/mm] läut, ersetzen durch [mm]\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/mm]
Also [mm](\star)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \ + \ (n+1)^2[/mm]
Das wie geplant gleichnamig machen und auf einen Bruch schreiben, dann kannst du [mm](n+1)[/mm] ausklammern.
Bedenke, dass du am Ende auf [mm]...=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}[/mm] hinaus willst ...
>
> [(k+1)(k+2)(2k+3)]/6 + [mm]\bruch{6(k+1)}{6}[/mm] =
>
> nach meinen Rechnungen komme ich dann ganz durcheinander
> und nicht weiter.
Das ist kein Wunder das ist Kraut und Rüben ...
Gruß
schachuzipus
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