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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:01 Fr 20.10.2006 | | Autor: | Thomas80 |
| Aufgabe | Es sei K ein beliebiger bewerteter Körper und E eine algebraische (nicht vollständige) Erweiterung von K.
Lässt sich die Bewertung phi von K zu einer Bewertung von E fortsetzen? |
Der Beweis, wie solche Bewertungen konstruiert werden habe ich hinbekommen... hier eine kurze Skizze...
Zunächst habe ich mir die einfache Erweiterung E=K(t) angeschaut; t ist Nullstelle eines irreduziblen Polynoms F(x) aus K[x].
- K zu einem vollständigen Körper O erweitern
- Zerfällungskörper Z von F(x) über O bilden
- Beweis, dass phi zu einer Bewertung PHI von O fortgesetzt werden kann ist bekannt.
- Einbettung von E in O definiert Bewertung.
Mir fehlt nun der Teil des Beweises, dass jede Bewertung PHI die es auf O gibt zwangsläufig eine dieser Einbettungen ist...
Kann mir hier vielleicht jemand weiterhelfen..?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:26 Fr 20.10.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es sei K ein beliebiger bewerteter Körper und E eine
> algebraische (nicht vollständige) Erweiterung von K.
> Lässt sich die Bewertung phi von K zu einer Bewertung von
> E fortsetzen?
>
> Der Beweis, wie solche Bewertungen konstruiert werden habe
> ich hinbekommen... hier eine kurze Skizze...
>
> Zunächst habe ich mir die einfache Erweiterung E=K(t)
> angeschaut; t ist Nullstelle eines irreduziblen Polynoms
> F(x) aus K[x].
> - K zu einem vollständigen Körper O erweitern
> - Zerfällungskörper Z von F(x) über O bilden
> - Beweis, dass phi zu einer Bewertung PHI von O
> fortgesetzt werden kann ist bekannt.
> - Einbettung von E in O definiert Bewertung.
Wie sollte $E$ in $O$ eingebettet werden koennen? Das geht nur, wenn $F$ einen Linearfaktor in $O[x]$ hat. Erstmal kannst du doch $L$ nur in $Z$ einbetten. Und du musst [mm] $\phi$ [/mm] erstmal zu einer Bewertung [mm] $\Phi$ [/mm] auf $Z$ fortsetzen (auf $O$ hast du kanonisch durch die Vervollstaendigung schon eine Bewertung gegeben).
> Mir fehlt nun der Teil des Beweises, dass jede Bewertung
> PHI die es auf O gibt zwangsläufig eine dieser Einbettungen
> ist...
Eine Bewertung ist niemals eine Einbettung. Was genau willst du wissen?
Dass jede Bewertung auf $Z$ durch die Einbettung $E [mm] \to [/mm] Z$ (es muss uebrigens eine $K$-lineare Einbettung sein) eine Bewertung auf $E$ ergibt? Das rechnet man doch schnell nach (oder sieht es gleich).
Oder meinst du, dass jede Fortsetzung [mm] $\Phi$ [/mm] von [mm] $\phi$ [/mm] auf $E$ von einer solchen Einbettung $E [mm] \to [/mm] Z$ kommt?
Dazu betrachte die Vervollstaendigung [mm] $E_\Phi$ [/mm] von $E$ bzgl. einer vorgegebenen Bewertung auf $E$, die [mm] $\phi$ [/mm] fortsetzt. Diese Vervollstaendigung enthaelt dann die Vervollstaendigung [mm] $K_\phi$ [/mm] von $K$ mit deren kanonischen Bewertung. Nimm dir jetzt den ZK von $F$ ueber der Vervollstaendigung von $E$. Dieser ist --als nicht bewerteter Koerper-- gleich $Z$, jedoch mit (moeglicherweise) einer anderen Bewertung ausgestattet. Bezeichnen wir ihn mal als $Z'$. Da die Bewertungen auf [mm] $K_\phi$ [/mm] jedoch uebereinstimmen, und die Fortsetzungen von Bewertungen auf algebraische Erweiterungen von vollstaendigen Koerpern eindeutig sind, gibt es einen isometrischen [mm] $K_\phi$-Isomorphismus [/mm] $Z [mm] \to [/mm] Z'$. Und wenn du jetzt diesen passend mit der Einbettung $E [mm] \to E_\Phi$ [/mm] verknuepfst, bekommst du die gewuenschte Einbettung $E [mm] \to [/mm] Z$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:06 Fr 20.10.2006 | | Autor: | Thomas80 |
Danke... - ich glaube, damit ist mein Problem gelöst :o)
Werd mich da morgen mal ausgeschlafen dransetzen und mir das näher anschauen!!!
LG - Thomas
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