Beziehungen im rechtw. Dreieck < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:46 Mo 11.04.2011 | | Autor: | kagu |
| Aufgabe | | Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck ABC, dessen Hypotenuse BC in n gleiche Teile geteilt wird (n ungerade), sei alpha der Winkel, unter dem die Teilstrecke, die den Mittelpunkt der Hypotenuse enthält, von A aus gesehen wird, h die Höhe und a die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks. Man zeige die Gültigkeit der Beziehung tan(alpha) = (4nh)/((n²-1)a)) |
Hallo,
ich komme bei dieser Aufgabe auf keinen grünen Zweig. Ich habe mir das Dreieck für n=3 skizziert, sehe aber keine Zusammenhänge zwischen den gegebenen Größen, die mir weiterhelfen.
Kann mir jemand einen Tipp geben?
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> Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck ABC, dessen
> Hypotenuse BC in n gleiche Teile geteilt wird (n ungerade),
> sei alpha der Winkel, unter dem die Teilstrecke, die den
> Mittelpunkt der Hypotenuse enthält, von A aus gesehen
> wird, h die Höhe und a die Hypotenuse des rechtwinkligen
> Dreiecks. Man zeige die Gültigkeit der Beziehung
> tan(alpha) = (4nh)/((n²-1)a))
> Hallo,
>
> ich komme bei dieser Aufgabe auf keinen grünen Zweig. Ich
> habe mir das Dreieck für n=3 skizziert, sehe aber keine
> Zusammenhänge zwischen den gegebenen Größen, die mir
> weiterhelfen.
>
> Kann mir jemand einen Tipp geben?
Hallo kagu,
konzentriere dich auf das Wesentliche, indem du das
Dreieck betrachtest, um welches es eigentlich geht:
nicht das Dreieck ABC, sondern das Dreieck APQ, wobei
[mm] \overline{PQ} [/mm] die mittlere Teilstrecke der Hypotenuse
ist. Seine (von A aus gemessene) Höhe ist auch die
gegebene Höhe h des Dreiecks ABC. Ferner kann man
seine Seitenhalbierende [mm] \overline{AM} [/mm] sowie seine
Grundlinie [mm] \overline{PQ} [/mm] leicht mittels a ausdrücken.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:20 Di 12.04.2011 | | Autor: | statler |
Hallo kagu,
zusätzlich brauchst du noch das Additionstheorem für den Tangens und etwas Algebra (Termumformungen), dann wird es rund.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:29 Di 12.04.2011 | | Autor: | kagu |
Hallo,
ich habe jetzt die Seiten AM und PQ durch a dargestellt, das heißt ich erhalte zwei gleichschenklige Dreiecke. Aber dann komme ich leider nicht weiter.
Kann mir jemand helfen?
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> Hallo,
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> ich habe jetzt die Seiten AM und PQ durch a dargestellt,
> das heißt ich erhalte zwei gleichschenklige Dreiecke. Aber
> dann komme ich leider nicht weiter.
>
> Kann mir jemand helfen?
Hallo kagu,
zwei gleichschenklige Dreiecke ??
Die beiden Dreiecke AMP und AMQ sind nicht gleich-
schenklig, aber sie stimmen in der Länge zweier
ihrer Seiten überein.
In meiner Skizze liegt der Fusspunkt F der von A aus
auf die Grundlinie a gefällten Höhe h außerhalb der
Strecke [mm] \overline{PQ} [/mm] , und zwar so, dass die Punkte P, Q und F
in dieser Reihenfolge angeordnet sind.
Ich bezeichnete [mm] m:=|\overline{MF}| [/mm] , [mm] p:=|\overline{PF}| [/mm] , [mm] q:=|\overline{QF}|
[/mm]
und [mm] e:=|\overline{PM}|=|\overline{MQ}| [/mm] .
Dann kann man die Winkel [mm] \angle{PAF} [/mm] und [mm] \angle{QAF} [/mm] betrachten,
ihre Tangenswerte mittels a und h ausdrücken und dann
mit dem Tangens-Subtraktionstheorem den Tangens
von [mm] \alpha [/mm] berechnen. Dabei zeigt sich, dass man für
die Terme $\ p-q$ und $\ p*q$ ganz nett zu vereinfachende Aus-
drücke erhält.
Gibt insgesamt einiges zu tun, doch den schließlichen
Erfolg darf man dann auch ein bisschen feiern ...
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Do 14.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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