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| Aufgabe | Zeige: Die Funktion [mm] \pi: \IN^2 [/mm] -> [mm] \IN [/mm] , die (n,k) auf 1/2 (n+k)(n+k+1)+k abbildet, ist eine Bijektion
Hinweis: Zeichnen sie N [mm] \times [/mm] N als Gitter auf. welcher Punkt wird auf 0 abgebildet, welcher auf 1 etc.) |
[mm] \pi: \IN^2 [/mm] -> [mm] \IN
[/mm]
0= [mm] \pi(n,k)
[/mm]
0= 1/2 (n+k)(n+k+1)+k
0= [mm] \sum_{1\lei\le n+k} i^2 [/mm] +k da [mm] \sum_{1\lei\le n} i^2= \frac{1}{2} [/mm] n (n+1)
-k= [mm] \sum_{1\lei\le n+k} i^2
[/mm]
->k=n=0 sonst nicht möglich
d.h. [mm] \vektor{0\\ 0} [/mm] ->0
ker [mm] (\pi)= \pi^{-1} [/mm] (0)= [mm] \vektor{0\\ 0}
[/mm]
Injektiv da der kern nur trivial ist.
1= [mm] \pi(n,k)
[/mm]
1-k= [mm] \sum_{1\le i \le n+k} i^2
[/mm]
Fall k=1 -> nicht möglich
Fall k=0 -> n=1
[mm] \pi^{-1} [/mm] (1) = [mm] \vektor{1\\ 0}
[/mm]
2= [mm] \pi(n,k)
[/mm]
2-k = [mm] \sum_{1\le i \le n+k} i^2
[/mm]
k=1 -> n=0
[mm] \pi^{-1} [/mm] (2) = [mm] \vektor{0\\ 1}
[/mm]
3= [mm] \pi(n,k)
[/mm]
3-k= [mm] \sum_{1\le i \le n+k} i^2
[/mm]
nie erreicht
komisch aber wenn ich in 1/2 (n+k)(n+k+1)+k einsetze n=2,k=0 kommt 3 raus, aber wenn ich das mittels der umformung mache gehte das nicht mehr?=?=
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:58 Sa 02.03.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zeige: Die Funktion [mm]\pi: \IN^2[/mm] -> [mm]\IN[/mm] , die (n,k) auf 1/2
> (n+k)(n+k+1)+k abbildet, ist eine Bijektion
> Hinweis: Zeichnen sie N [mm]\times[/mm] N als Gitter auf. welcher
> Punkt wird auf 0 abgebildet, welcher auf 1 etc.)
>
> [mm]\pi: \IN^2[/mm] -> [mm]\IN[/mm]
> 0= [mm]\pi(n,k)[/mm]
> 0= 1/2 (n+k)(n+k+1)+k
> 0= [mm]\sum_{1\lei\le n+k} i^2[/mm] +k da [mm]\sum_{1\lei\le n} i^2= \frac{1}{2}[/mm]
> n (n+1)
Vorsicht! [mm] $\frac{1}{2} [/mm] n (n + 1) = [mm] \sum_{i=1}^n [/mm] i$, und nicht die Summe ueber [mm] $i^2$!
[/mm]
Versuch es damit nochmal.
> -k= [mm]\sum_{1\lei\le n+k} i^2[/mm]
> ->k=n=0 sonst nicht möglich
> d.h. [mm]\vektor{0\\ 0}[/mm] ->0
> ker [mm](\pi)= \pi^{-1}[/mm] (0)= [mm]\vektor{0\\ 0}[/mm]
> Injektiv da der
> kern nur trivial ist.
Nein, das stimmt so nicht. Du hast hier keinen Gruppenhomomorphismus, und damit hilft dir der Kern nicht weiter. (Das ganze ist nichtmals ein Homomorphismus. Weder von Halbgruppen noch von Gruppen (falls [mm] $\IN$ [/mm] denn eine waer).)
Fuer das Bild 0 verwende doch einfach, dass die Summe von positiven Zahlen groesser als 0 ist.
LG Felix
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