Bijektionen in Ebene < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 Di 20.10.2009 | | Autor: | r2d2 |
| Aufgabe | Welche der folgenden Teilmengen sind Untergruppen der Gruppe aller Bijektionen einer Ebene auf sich?
(a) {} ,
(b) {id},
(c) alle Drehungen (einschließlich der Identität),
(d) alle Drehungen um einen festen Punkt
(e) alle Drehungen um einen festen Punkt mit Drehwinkel 0°, 90°, 180°, 270°.,
(f) alle Translationen (einschließlich der Identität)
(g) alle Translationen entlang einer festen Geraden.
(h) alle Translationen bei denen der Abstand von Ur- und Bildpunkt einen vorgegebenen Wert >0 (z.B. 10cm) nicht überschreitet
Hinweis zu c): FInde zwei Drehungen (etwa je um 180°), deren Produkt eine Translation [mm]\not=[/mm] id ist.
Bemerkung: Alle Translationen und alle Drehungen von E bilden eine Gruppe. Der Beweis der Abgeschlossenheit ist aber anschaulich-elementar nicht ganz leicht. |
Hallo,
Ich habe mich anhand des Untergruppenkriteriums:
[mm] \left(H,\circ\right) ist eine Untergruppe von G \gdw H \not= \{\}, x\in H \Rightarrow x^{-1} \in H, x,y\in H \Rightarrow x \circ Y \in H [/mm] herangewagt.
Ich habe aber aufgrund der Bemerkung am Schluss der Aufgabenstellung ein unsicheres Gefühl wegen der Abgeschlossenheit der Verknüpfung in H.
Wie zeige ich, dass das so ist ( vor allem bei c), g), h))
Meine Lösung
(a) nein, da H = {}
(b) ja, H ={id}, [mm] id\in H\Rightarrow id\in H[/mm] und die Identität verknüpft mit sich selber immer wieder die Identität ist
(c) ja, ich habe zwar zum Hinweis Beispiele gefunden, aber es existieren inverse Elemente und die Menge müsste Abgeschlossen gegenüber * sein. Doch wie zeige ich das genau. (Meine Annahme beruht nur auf meinem Verständnis von einer Ebene und Drehungen in dieser)
(d) ja, Untergruppenkriterium erfüllt
(e) ja, Untergruppenkriterium erfüllt
(f) ja, Untergruppenkriterium erfüllt
(g) ? wie zeige ich die Abgeschlossenheit
(h) ? wie zeige ich die Abgeschlossenheit
Kann mir jemand erklären, wie ich die Abgeschlossenheit zeige?
Beste Grüße,
Daniel
Ich habe diese Frage auf keiner anderen Website/ in keinem Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:17 Di 20.10.2009 | | Autor: | Blech |
Hi,
wenn Du einen Ringblock nimmst und um das oberste der vier vorgestanzten Löcher um 180° drehst, und dann den Block nochmal um das jetzt oberste (d.h. das anfänglich unterste) der vier Löcher um 180° drehst, dann hast Du gerade eine Translation ausgeführt. Und die ist keine Drehung.
Wenn ich den Block um einen festen Punkt drehe, und dann nochmal um den gleichen Punkt drehe (da der ja fest gewählt ist), dann hab ich ihn immer noch nur gedreht, um welchen Winkel auch immer.
Also ist (d) abgeschlossen, (c) aber nicht.
Versuch Dir systematisch Gegenbeispiele zu konstruieren. D.h. ich kann diese und jene Bewegung mit der Ebene ausführen, wie könnte ich jetzt eine zweite dranhängen, so daß die Kombination eben nicht mehr eine derartige Bewegung ist. Dann wird Dir auch klarer, warum gewisse Operationen abgeschlossen sind, und andere nicht. =)
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 Di 20.10.2009 | | Autor: | r2d2 |
Hi,
Danke für den guten Ratschlag.
Ich hab mich an deinen Tipp gehalten und mir Gegenbeispiele überlegt - ich hab nur keine gefunden. SInd die restlichen Beispiele alle Untergruppen?
g) ähnlich wie Drehung um fixen Punkt. Da ich die Translation immer entlang einer Geraden durchführe, erhalte ich nie eine andere Bewegung.
h) ist auch abgeschlossen, weil man um den Urpunkt einen Kreis mit Radius=Abstand ziehen kann, zu dem die Translation führt
f) ich habe keine Aneinanderreihung von Translationen gefunden, die eine andere Bewegung wäre. Man könnte abhängig vom Translationsobjekt "Spiegelungen" realisieren, welche aber trotzdem Translationen wären. Und Drehungen schaffe ich durch Verknüpfen von Translationen keine.
Hab ich das/die Gegenbeispiel(e) nicht gefunden oder gibt es keine?
Grüße,
Daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:25 Mi 21.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Daniel!
> Danke für den guten Ratschlag.
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> Ich hab mich an deinen Tipp gehalten und mir Gegenbeispiele
> überlegt - ich hab nur keine gefunden. SInd die restlichen
> Beispiele alle Untergruppen?
Fuer c) hat dir Stefan ein Gegenbeispiel genannt.
a) ist keine Untergruppe, b) ist eine, c) ist keine, d) ist eine, e) ist eine, f) ist eine.
> g) ähnlich wie Drehung um fixen Punkt. Da ich die
> Translation immer entlang einer Geraden durchführe,
> erhalte ich nie eine andere Bewegung.
Da erstmal eine Gegenfrage: was genau ist mit "Translation entlang einer festen Gerade" gemeint? Wenn man zwei Punkte der Gerade waehlt, gibt es eine Translation in dieser UG, die einen Punkt auf den anderen ueberfuehrt? Sprich, man hat genau alle Translationen, die die Gerade auf sich selber abbilden?
In diesem Fall ist es eine Untergruppe, ja. (Und diese ist isomorph zu [mm] $(\IR, [/mm] +)$.)
> h) ist auch abgeschlossen, weil man um den Urpunkt einen
> Kreis mit Radius=Abstand ziehen kann, zu dem die
> Translation führt
Nein, es ist eben nicht abgeschlossen. Nimm z.B. die Translation, die 1 auf 2 abbildet. Wenn du sie doppelt ausfuehrst, wird 1 auf 3 abgebildet; wenn du sie dreimal ausfuehrst, 1 auf 4. Du kannst also ein Element der Untergruppe finden (falls es eine Untergruppe ist), die 1 auf ein beliebig grosses $n$ abbildet.
> f) ich habe keine Aneinanderreihung von Translationen
> gefunden, die eine andere Bewegung wäre. Man könnte
> abhängig vom Translationsobjekt "Spiegelungen"
> realisieren, welche aber trotzdem Translationen wären. Und
> Drehungen schaffe ich durch Verknüpfen von Translationen
> keine.
Geh wie folgt vor: zeige: sind $f, g$ Translationen entlang der Geraden $L$, d.h. gilt $f(L) = L$, $g(L) = L$, dann gilt auch $(f g)(L) = L$, womit $f g$ ebenfalls eine Translation entlang der Geraden $L$ ist.
Analog geht's fuer [mm] $f^{-1}$.
[/mm]
> Hab ich das/die Gegenbeispiel(e) nicht gefunden oder gibt
> es keine?
Es gibt keine.
LG Felix
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