Bijektiv, Injektiv und Surjekt < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 Fr 28.10.2011 | | Autor: | Fincayra |
Hi
Mal keine Rechnung und auch keine Erklärung, sondern nur die Frage:
Gibt es außer Injektiv, Surjektiv und Bijektiv noch etwas anderes, dass eine Abbildung von Mengen sein kann? Mir fällt beim "Mengenmalen" zumindest keine ein.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 Fr 28.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
es gibt noch abbildungen, die keines der drei sind.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Fr 28.10.2011 | | Autor: | Fincayra |
Hallo leduart!
Mh, das ist nicht gut, dann funktioniert mein Beweis nicht mehr. Kannst du mir bitte ein Beispiel nennen?
LG
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Hallo Fincayra,
> Hallo leduart!
>
> Mh, das ist nicht gut, dann funktioniert mein Beweis nicht
> mehr. Kannst du mir bitte ein Beispiel nennen?
Einfachstes Bsp.:
Jede konstante Funktion tut es, etwa die Nullfunktion:
[mm]f\equiv 0[/mm], also [mm]f:\IR\to\IR, x\mapsto 0[/mm]
$f$ ist weder injektiv noch surjektiv.
>
> LG
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 Fr 28.10.2011 | | Autor: | Fincayra |
Aber wäre das nicht bijektiv? 0 in der Ursprungsmenge und 0 in der Zielmenge?
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Hallo nochmal,
> Aber wäre das nicht bijektiv? 0 in der Ursprungsmenge und
> 0 in der Zielmenge?
Ich hatte die Abbildung ja von [mm]\IR\to\IR[/mm] definiert, da ist sie nicht bijektiv bzw. weder inj. noch surj.
Du kannst aber die Abb. einschränken und sie bijektiv machen:
[mm]\tilde f:\{0\}\to\{0\}, x\mapsto 0[/mm]
Die hat in Urbild- und Bildbereich jeweils nur 1 Element und ist bijektiv, es wird nur 0 auf 0 abgebildet.
Bei der Abb. von [mm] $\IR\to\IR$ [/mm] wird ja auch jedes andere Element auf 0 abgebildet, etwa die [mm] $1\mapsto [/mm] 0$
Das macht die Injektovität (auf [mm] $\IR$) [/mm] kaputt.
Und es wird ja außer der 0 keine andere reelle Zahl getroffen, daher ist die Abb. als Abb. von [mm] $\IR\to\IR$ [/mm] natürlich auch nicht surj.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Fr 28.10.2011 | | Autor: | Fincayra |
Jetzt bin ich ehrlich gesagt verwirrt. Ich schreib einfach mal die Aufgabe und was ich vorhab. Vielleicht hilft das ^^
Also, [mm] M_1, M_2 und M_3[/mm] sind Mengen.[mm]f:M_1 -> M_2 und g: M_" -> M_3[/mm] sind Abbildungen.
In der ersten Teilaufgabe sollte bewiesen werden, dass wenn f und g injektiv sind, gof auch in jektiv ist. Das ist soweit fertig. In einer weiteren Teilaufgabe soll bewiesen werden, wenn gof surjektiv und g injektiv ist, so ist f surjektiv.
Ich hab mir gedacht, ich kann einfach sagen "Wie in der ersten Teilaufgabe gzeigt, ist gof injektiv, wenn g UND f injektiv sind. Da g injektiv ist, MUSS f surjektiv sein, damit gof surjektiv ist."
Wenn es außer inj., surj. und bij. also nichts weiteres gäbe, müsste das doch klappen (so oder so ähnlich ^^) wenn es aber noch etwas gibt, dann klappt es nicht ^^
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 Fr 28.10.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Fincayra,
> Ich hab mir gedacht, ich kann einfach sagen "Wie in der
> ersten Teilaufgabe gzeigt, ist gof injektiv, wenn g UND f
> injektiv sind. Da g injektiv ist, MUSS f surjektiv sein,
> damit gof surjektiv ist."
Deine Argumentation geht davon aus, dass jede Abbildung entweder injektiv oder surjektiv sei. Wie in diesem Thread bereits beschrieben, gibt es aber Abbildungen, die weder injektiv noch surjektiv sind. Außerdem gibt es Abbildungen, die gleichzeitig injektiv und surjektiv sind (die nennt man dann ja gerade bijektiv).
> Wenn es außer inj., surj. und bij. also nichts weiteres
> gäbe, müsste das doch klappen (so oder so ähnlich ^^)
> wenn es aber noch etwas gibt, dann klappt es nicht ^^
In der Tat funktioniert deine Argumentation nicht. Dir bleibt nichts anderes übrig, als mit der Definition der Surjektivität zu arbeiten.
Viele Grüße
Tobias
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