Bijektive Abbildung zeigen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:58 So 19.07.2009 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | Es sei G eine endliche Gruppe und n [mm] \in \IN_{>0} [/mm] sei teilerfremd zu |G|.
Zeigen Sie: Dann ist die Abbildung [mm] \alpha: [/mm] G [mm] \to [/mm] G: g [mm] \mapsto g^{n} [/mm] bijektiv. |
Hallo erstmal,
Hab hier leider mal wieder Schwierigkeiten auf einen richtigen Ansatz zu kommen. Im Grunde findet hier ja nur eine Umbenennung der Gruppenelemente statt. Zunächst mal die Frage: Ist diese Abbildung immer ein Gruppenhomomorphismus? Ich glaub zumindest mal, da die Mächtigkeit der Gruppe eine Rolle spielt und n teilerfremd dazu sein soll, hat es wohl wahrscheinlich etwas mit dem Satz von Lagrange zu tun.
Sorry, aber auf eine gescheite Idee komm ich hierbei einfach nicht.
Ich hoffe ihr könntet mir einen Denkanstoß dazu geben, wäre um jede Hilfe dankbar.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 So 19.07.2009 | | Autor: | pelzig |
Diese Abbildung [mm] $\alpha$ [/mm] ist i.A. kein Homomorphismus da in nicht-kommutativen Gruppen nunmal i.A. ein Unterschied zwischen [mm] $(gh)^n$ [/mm] und [mm] $g^nh^n$ [/mm] besteht. Für die Bijektiivität genügt es, da G endlich ist, die Injektivität zu zeigen. Leider gelingt mir das ohne dass G kommutativ ist, gerade nicht... 
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:44 So 19.07.2009 | | Autor: | ms2008de |
Also die Aufgabenstellung hab ich definitiv nicht falsch abgeschrieben
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 So 19.07.2009 | | Autor: | andreas |
hallo,
vermutlich ist es einfacher die surjektivität aufzuschreiben:
sei $x [mm] \in [/mm] G$. da $n$ und $|G|$ teilerfrmed sind, gibt es $a, b [mm] \in \mathbb{Z}$, [/mm] so dass $an + b|G| = 1$. nun ist
[mm] $\alpha(x^a) [/mm] = [mm] \left(x^a\right)^n [/mm] = [mm] x^{an} [/mm] = ... = x$.
(es fehlen natürlich noch ein paar zwischenschritte, dabei braucht man aber nicht mehr, als hier steht und den satz von lagrange).
die injektivität sollte sich nachweisen lassen, indem man sich auf die einzelnen zyklischen untergruppen zurückzieht.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 So 19.07.2009 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
Also ich sehe, du benutzt hier die Bezout-Identität. Ich versuch jetzt mal die Zwischenschritte von der rechten Seite her:
x= [mm] x^{an + b|G|}= x^{an}*x^{b|G|}, [/mm] das müsste jetzt deiner Meinung nach = [mm] x^{an}= (x^{a})^{n}= \alpha (x^{a}) [/mm] sein, aber an der Stelle versteh ichs nicht mehr, wo [mm] x^{b|G|}=1 [/mm] sein müsste, das ist mir unlogisch?
Des weiteren hab ich ja eine Abbildung von G nach G, is es nicht logisch, dass wenn diese Abbildung surjektiv ist, sie automatisch auch bijektiv ist? Ich mein, wenn man alle Elemente aus der Gruppe reinsteckt, also |G|=m, kann ich ja höchstens wieder m Elemente herausbekommen, ansonsten wär die Abbildung ja nicht wohldefiniert?, und da die Abbildung surjektiv ist und G endlich ist und auf sich selbst abbildet, müsste die Abbildung auch injektiv sein...?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:51 So 19.07.2009 | | Autor: | pelzig |
> x= [mm]x^{an + b|G|}= x^{an}*x^{b|G|},[/mm] das müsste jetzt
> deiner Meinung nach = [mm]x^{an}= (x^{a})^{n}= \alpha (x^{a})[/mm]
> sein, aber an der Stelle versteh ichs nicht mehr, wo
> [mm]x^{b|G|}=1[/mm] sein müsste, das ist mir unlogisch?
Das ist der Satz von Lagrange.
> Des weiteren hab ich ja eine Abbildung von G nach G, is es
> nicht logisch, dass wenn diese Abbildung surjektiv ist, sie
> automatisch auch bijektiv ist?
Richtig.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 So 19.07.2009 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
Ich verstehs leider immer noch nicht:
> > x= [mm]x^{an + b|G|}= x^{an}*x^{b|G|},[/mm] das müsste jetzt
> > deiner Meinung nach = [mm]x^{an}= (x^{a})^{n}= \alpha (x^{a})[/mm]
> > sein, aber an der Stelle versteh ichs nicht mehr, wo
> > [mm]x^{b|G|}=1[/mm] sein müsste, das ist mir unlogisch?
> Das ist der Satz von Lagrange.
??? Was hat das mit Satz von Lagrange zu tun?? Der Satz von Lagrange sagt doch:
Es sei G eine endliche Gruppe und U ≤ G eine Untergruppe von G. Dann gilt
|G| = |U| · |G : U|.
Insbesondere gilt, |U| und |G/U| = |G : U| sind Teiler von |G|.
Den Zusmmenhang hierzu seh ich leider gerade nicht?
Wenn [mm] x^{b|G|}=1, [/mm] muss dann nicht b|G|=0 sein, denn x=1 gilt ja i.A. nicht.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:19 So 19.07.2009 | | Autor: | andreas |
Hi.
> Den Zusmmenhang hierzu seh ich leider gerade nicht?
> Wenn [mm]x^{b|G|}=1,[/mm] muss dann nicht b|G|=0 sein, denn x=1
> gilt ja i.A. nicht.
in einer endlichen gruppe folgt aus [mm] $x^n [/mm] = 1$ nicht, dass $x = 1$ oder $n = 0$. denke etwa an eine gruppe $G$ mit nur zwei elementen. dann gilt für jedes $g [mm] \in [/mm] G$, dass [mm] $g^2 [/mm] = 1$. Die gleichung [mm] $x^n [/mm] = 1$ hat also in $G$ - sofern $n$ die ordnung von $G$ teilt - mehr als eine lösung.
> ??? Was hat das mit Satz von Lagrange zu tun?? Der Satz
> von Lagrange sagt doch:
> Es sei G eine endliche Gruppe und U ≤ G eine Untergruppe
> von G. Dann gilt
> |G| = |U| · |G : U|.
> Insbesondere gilt, |U| und |G/U| = |G : U| sind Teiler von
> |G|.
genau das ist das, was du brauchst. bezeichne [mm] $\left [/mm] = [mm] \left\{x^k : k \in \mathbb{Z}\right\}$ [/mm] die von $x$ erzeugte zyklische untergruppe. dann gilt einerseits [mm] $|\left| [/mm] = [mm] \min \{k \in \mathbb{N} : x^k = 1 \}$ [/mm] (warum?), damit ist insbesondere [mm] $x^{|\left|} [/mm] = 1$ (warum?). andererseits teilt nach dem satz von lagrange [mm] $|\left< x \right> [/mm] |$ die ordnung von $G$. was hilft das nun?
meine bemerkung zur injektivität vorhin bezog sich nur darauf, dass man diese auch direkt nachweisen kann, dies hier aber schwieriger scheint (normalerweise ist das oft eher leichter...). aber wie du schon richtig bemerkt hast, ist bei selbstabbildungen endlicher mengen injektiv, surjektiv und bijektiv äquivalent - es genügt also nur eine dieser eigenschaften nachzuweisen.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 So 19.07.2009 | | Autor: | ms2008de |
Hi,
Ich glaub jetzt hab ichs verstanden:
> > Der Satz von Lagrange sagt doch:
> > Es sei G eine endliche Gruppe und U ≤ G eine Untergruppe
> > von G. Dann gilt
> > |G| = |U| · |G : U|.
> > Insbesondere gilt, |U| und |G/U| = |G : U| sind Teiler
> von
> > |G|.
>
> genau das ist das, was du brauchst. bezeichne
> [mm]\left = \left\{x^k : k \in \mathbb{Z}\right\}[/mm] die
> von [mm]x[/mm] erzeugte zyklische untergruppe. dann gilt einerseits
> [mm]|\left| = \min \{k \in \mathbb{N} : x^k = 1 \}[/mm]
> (warum?),
So ist doch gerade ord(x) definiert.
> damit ist insbesondere [mm]x^{|\left|} = 1[/mm]
> (warum?).
Weil gilt: [mm] x^{ord(x)} [/mm] = 1
> andererseits teilt nach dem satz von lagrange
> [mm]|\left< x \right> |[/mm] die ordnung von [mm]G[/mm]. was hilft das nun?
Damit ist |G| ein ganzzahliges Vielfaches von ord(x), so dass man schreiben kann; [mm] x^{c*ord(x)}= (x^{ord(x)})^{c}= x^{|G|} [/mm] = 1
So stimmts nun, oder?
Vielen Dank nochmal für die Erläuterungen und
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:06 So 19.07.2009 | | Autor: | andreas |
hi
> > genau das ist das, was du brauchst. bezeichne
> > [mm]\left = \left\{x^k : k \in \mathbb{Z}\right\}[/mm] die
> > von [mm]x[/mm] erzeugte zyklische untergruppe. dann gilt einerseits
> > [mm]|\left| = \min \{k \in \mathbb{N} : x^k = 1 \}[/mm]
> > (warum?),
> So ist doch gerade ord(x) definiert.
ja, es ist [mm] $|\left< x \right> [/mm] | = [mm] \mathrm{ord}(x) [/mm] = [mm] \min \{ k \in \mathbb{N} : x^k = 1 \}$. [/mm] wie man welche der ersten beiden werte definiert ist im prinzip wurst, es muss einem nur klar sein, dass alle drei gleich sind.
> > damit ist insbesondere [mm]x^{|\left|} = 1[/mm]
> > (warum?).
> Weil gilt: [mm]x^{ord(x)}[/mm] = 1
> > andererseits teilt nach dem satz von lagrange
> > [mm]|\left< x \right> |[/mm] die ordnung von [mm]G[/mm]. was hilft das nun?
> Damit ist |G| ein ganzzahliges Vielfaches von ord(x), so
> dass man schreiben kann; [mm]x^{c*ord(x)}= (x^{ord(x)})^{c}= x^{|G|}[/mm]
> = 1
> So stimmts nun, oder?
ja, das passt alles (wobei ich die letzte gleichungskette in einer etwas anderen reihenfolge aufgeschieben hätte).
grüße
andreas
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