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| Aufgabe | | Hallo ich bin neu hier machs kurz: Ich habe Bijektivität als neuen Begriff kennengelernt... und bei allgemeinen Funktionen soll ich diese nun nachprüfen. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Kann ich bei ganz normalen rationalen Funktionen (oder bei anderen) folgendermaßen vorgehen?
1.) Ich bilde die Umkehrfunktion, Wenn dieses durchgängig durch äquivalenzumformung funktioniert, ist diese schonmal surjektiv?
2.) Wenn die Umkehrfunktion, nur eine Lösung für jedes y hat, ist diese dann auch noch injektiv...
Also bei einer pq-Formel, können ja für jedes x bis zu 2 Lösungen rauskommen, dies darf hier also nicht der Fall sein?
Ist das die richtige Vorgehensweise und soweit richtig? Ich hoffe es ist verständlich....
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Hallo Renatusmc,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo ich bin neu hier machs kurz: Ich habe Bijektivität
> als neuen Begriff kennengelernt... und bei allgemeinen
> Funktionen soll ich diese nun nachprüfen.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Kann ich bei ganz normalen rationalen Funktionen (oder bei
> anderen) folgendermaßen vorgehen?
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> 1.) Ich bilde die Umkehrfunktion, Wenn dieses durchgängig
> durch äquivalenzumformung funktioniert, ist diese schonmal
> surjektiv?
Gemäß der Definition der Umkehrfunktion, existiert diese nur, wenn die Funktion bijektiv ist.
Du setzt also mit der Anwendung bzw Bestimmung der Umkehrfunktion die Surjektivität, ja sogar die Bijektivität voraus.
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> 2.) Wenn die Umkehrfunktion, nur eine Lösung für jedes y
> hat, ist diese dann auch noch injektiv...
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> Also bei einer pq-Formel, können ja für jedes x bis zu 2
> Lösungen rauskommen, dies darf hier also nicht der Fall
> sein?
>
> Ist das die richtige Vorgehensweise und soweit richtig? Ich
> hoffe es ist verständlich....
Ich würde, um Bijektivität nachzuweisen, den Fokus viel eher auf die Definitions- und Wertemengen legen.
Ihr habt Funktionen sicher in der Form kennengelernt, dass eine Abbildung von der Definitionsmenge in die Wertemenge stattfindet.
Was ist mit allg. Funktion gemeint?
Seien $\ X,Y $ zwei nichtleere Mengen. Dann ist $\ f : X [mm] \rightarrow [/mm] Y $ eine Funktion $\ f $.
$\ f$ ist injektiv, wenn $\ [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 \gdw f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2) [/mm] $
$\ f$ ist surjektiv, wenn für alle $\ y [mm] \in [/mm] Y $ ein $\ x [mm] \in [/mm] X $ derart existiert, dass $\ f(x) = y $
$\ f$ ist bijektiv, wenn $\ f$ sowohl injektiv, als auch surjektiv ist.
Ich würde also $\ X,Y$ so wählen, dass die Injektivität und Surjektivität erfüllt wird. Dann folgt die Bijektivität von selbst.
Dann existiert auch die Umkehrfunktion $\ [mm] f^{-1} [/mm] : Y [mm] \rightarrow [/mm] X $.
Viele Grüße
ChopSuey
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Hallo,
wende jeweils die exakten Definitionen von injektiv und surjektiv an, sonst kommst du nicht weit. Die Defintionen wurden von ChopSuey ja schon aufgeschrieben.
Für die Injektivität reicht zu zeigen, dass [mm] f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2. [/mm] Die andere Richtung ist ja trivial.
Gruß Patrick
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