Bijektivität eines Homöomorph. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:58 Fr 27.01.2012 | | Autor: | huzein |
| Aufgabe | | Es sei [mm] $\|\cdot\|$ [/mm] die Euklidische Norm auf [mm] $\mathbb R^n$ [/mm] und [mm] $K(x_0,r)$ [/mm] die Kugel um [mm] $x_0\in\mathbb R^n$ [/mm] vom Radius r>0. Zeigen Sie, dass die Abbildung [mm] $f:K(x_0,r)\to\mathbb R^n$, $$f(x):=\dfrac{x-x_0}{r-\|x-x_o\|},$$ [/mm] ein Homöomorphismus ist. |
Hallo, ich habe obige Aufgabe zu zeigen. Bevor ich obige Behauptung zeigen möchte, möchte ich zeigen, dass K(0,1) homöomorph zu [mm] $\mathbb R^n$ [/mm] ist (zum Aufwärmen). Ich muss also einen Homöomorphismus [mm] $f:$K(0.1)\to\mathbb R^n$ [/mm] finden. In den Lehrbüchern ist das ja alles leicht und trivial und solch ein Homöomorphismus ist zB gegeben durch [mm] $$f(x):=\dfrac{x}{1-\|x\|},$$ [/mm] was für mich alles andere als vom Himmel fällt. Ok hat man diese Abbildung, so folgt die Stetigkeit, da [mm] $x\mapsto\|x\|$ [/mm] und x stetig sind und damit auch die Differenz und der Quotient stetig ist. Stetigkeit ist also abgehakt. Angenommen f ist bijektiv, dann ist [mm] $f^{-1}$ [/mm] stetig, falls die Urbildmenge von f, also K(0,1) kompakt ist. Da der Abschluss von K(0,1), in Zeichen [mm] $\overline{K(0,1)}$, [/mm] abgeschlossen und beschränkt ist in [mm] \mathbb{R}^n, [/mm] ist dieser auch kompakt, d.h. es gibt eine endliche Teilüberdeckung einer offenen Überdeckung von [mm] $\overline{K(0,1)}$, [/mm] die [mm] $\overline{K(0,1)}$ [/mm] ganz überdeckt. Da [mm] $K(0,1)\subset\overline{K(0,1)}$, [/mm] wird auch K(0,1) von dieser endlichen Teilüberdeckung vollständig überdeckt und ist damit ebenfalls kompakt. Daraus folgt nun, dass [mm] $f^{-1}$ [/mm] stetig. (Korrekt?)
Aber wie zeige ich nun die Bijektivität von f? Die Jacobi-Matrix steht mir nicht zur Verfügung. Wenn ich die Injektivität zeigen möchte, gehe ich wie folgt vor: Seien [mm] x,y\in [/mm] K(0,1) mit f(x)=f(y). Eingesetzt erhalte ich dann
[mm] $$\dfrac{x}{1-\|x\|}=\dfrac{y}{1-\|y\|}\iff (1-\|y\|)x=(1-\|x\|)y.$$ [/mm] Weiter komme ich an dieser Stelle erstmal nicht.. (Tip!?)
Zur Surjektivität fällt es mir schwer nach [mm] x\in [/mm] K(0,1) aufzulösen, denn ich muss ja ein solches x bestimmen, mit
[mm] $$y=f(x)=\dfrac{x}{1-\|x\|}\iff y(1-\|x\|)=x.$$
[/mm]
An dieser Stelle komme ich ebenfalls erstmal nicht weiter.. (Tip!?)
Bevor ich aber überhaupt etwas zeigen oder berechnen möchte, würde ich gerne wissen, wie man auf diesen Homöomorphismus kommt, ob es Methoden gibt einen solchen zu konstruieren oder man einfach ausprobieren muss.
Etwas lang alles aber ließ sich nicht vermeiden.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Es sei [mm]$\|\cdot\|$[/mm] die Euklidische Norm auf [mm]$\mathbb R^n$[/mm]
> und [mm]$K(x_0,r)$[/mm] die Kugel um [mm]$x_0\in\mathbb R^n$[/mm] vom Radius
> r>0. Zeigen Sie, dass die Abbildung [mm]$f:K(x_0,r)\to\mathbb R^n$,[/mm]
> [mm]f(x):=\dfrac{x-x_0}{r-\|x-x_o\|},[/mm] ein Homöomorphismus
> ist.
> Hallo, ich habe obige Aufgabe zu zeigen. Bevor ich obige
> Behauptung zeigen möchte, möchte ich zeigen, dass K(0,1)
> homöomorph zu [mm]$\mathbb R^n$[/mm] ist (zum Aufwärmen). Ich muss
> also einen Homöomorphismus [mm]$f:$K(0.1)\to\mathbb R^n$[/mm]
> finden. In den Lehrbüchern ist das ja alles leicht und
> trivial und solch ein Homöomorphismus ist zB gegeben durch
> [mm]f(x):=\dfrac{x}{1-\|x\|},[/mm] was für mich alles andere als
> vom Himmel fällt.
Was man in so einer Situation tun kann, ist sich die Sache erstmal im eindimensionalen zu überlegen, was man dadurch hinbekommen kann, dass man sich überlegt, wie ein entsprechender Funktionsgraph aussehen müsste. Dann findet man den Homöomorphismus [mm] f(x)=\frac{x}{1-x} [/mm] von [0,1) nach [mm] [0,\infty) [/mm] bzw. [mm] f(x)=\frac{x}{1-|x|} [/mm] von (-1,1) nach [mm] \IR.
[/mm]
[mm] f(x):=\dfrac{x}{1-\|x\|} [/mm] ist dann einfach die Verallgemeinerung dieses Beispiels auf den [mm] \IR^n
[/mm]
Um zu zeigen, dass es sich um einen Homöomorphismus handelt, gehst du genauso vor und kommst zu dem Ergebnis, dass du die Umkehrabbildung explizit angeben kannst durch
[mm] f^{-1}(y)=\dfrac{y}{1+\|y\|}
[/mm]
Da diese Funktion offensichtlich stetig ist, bleibt nur noch zu zeigen, dass tatsächlich [mm] f\circ f^{-1}=id_{\IR} [/mm] und [mm] f^{-1}\circ f=id_{K(0,1)} [/mm] gilt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:46 Fr 27.01.2012 | | Autor: | huzein |
Danke für die Antwort! Und der direkte Weg über den Nachweis der Injektivität und Surjektivität?! Dass man den Nachweis über die Inverse und der Hintereinanderausführung von links und dann von rechts nachweisen kann, war mir klar, wollte ich jedoch nicht tun, da ich die Umkehrabbildung nicht einfach vom Himmel fallen lassen wollte.
Aber die Idee sich das Ganze erst im 1-dimensionalen und dann allgemeiner zu betrachten macht natürlich Sinn und kann dann auch das Ergebnis liefern.
Also vielleicht noch einer einpaar Worte zur Injektivität und Surjektivität und dem direkten Weg die Bijektivität zu zeigen!?
Gruß
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> Danke für die Antwort! Und der direkte Weg über den
> Nachweis der Injektivität und Surjektivität?! Dass man
> den Nachweis über die Inverse und der
> Hintereinanderausführung von links und dann von rechts
> nachweisen kann, war mir klar, wollte ich jedoch nicht tun,
> da ich die Umkehrabbildung nicht einfach vom Himmel fallen
> lassen wollte.
Sich zu überlegen, dass eine Aussage gilt und sie dann zu beweisen, sind meist zwei ganz unterschiedliche Dinge. Daher egibt es meiner Meinung nach wenig Sinn, nach einem "direkten" Beweis zu suchen. Aber wenn du es unbedingt willst:
Bei der Injetivität zeigst du zunächst, dass aus [mm] f(x_1)=f(x_2) [/mm] folgt [mm] \|x_1\|=\|x_2\| [/mm] (das geht wieder "eindimensional") und im zweiten Schritt dann [mm] x_1=x_2.
[/mm]
Die Surjektivität lässt sich ähnlich zeigen: Zu gegebenem y bestimmst du erst die Menge der x mit [mm] \|f(x)\|=\|y\| [/mm] ....
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> Aber die Idee sich das Ganze erst im 1-dimensionalen und
> dann allgemeiner zu betrachten macht natürlich Sinn und
> kann dann auch das Ergebnis liefern.
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> Also vielleicht noch einer einpaar Worte zur Injektivität
> und Surjektivität und dem direkten Weg die Bijektivität
> zu zeigen!?
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> Gruß
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