Bijektivität von Matrizen < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:41 Fr 07.09.2007 | | Autor: | ernstl |
| Aufgabe | a) Ist die durch die Matrix
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }
[/mm]
gegebene Abbildung von [mm] \IR^2\mapsto\IR^2 [/mm] bijektiv?
b) Ist die durch die Matrix
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 1 & 8 & 9 }
[/mm]
gegebene Abbildung von [mm] \IR^3\mapsto\IR^3 [/mm] bijektiv?
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich weiß so viel das bijektiv bedeutet, dass die Matrix injektiv und surjektiv sein muss. Es muss also für jedes x ein y Wert geben und jeder Funktionswert muss einen anderen x Wert besitzen.
Jetzt meine dummen Fragen...;)
- Was bedeutet hier "Abbildung von [mm] \IR^n [/mm] nach [mm] \IR^n [/mm] "?
- Was sind hier x und y und wie überprüfe ich schematisch allgemein auf injektivität/surjektivität? Muss ich erst eine Gleichung aufstellen?
Bitte zunächst keine kompletten Lösungen geben, ich möchte es erst verstehen und selber Lösen.
Gruß,
Ernst
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Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich weiß so viel das bijektiv bedeutet, dass die Matrix injektiv und surjektiv sein muss. Es muss also für jedes x ein y Wert geben und jeder Funktionswert muss einen anderen x Wert besitzen.
Jetzt meine dummen Fragen...;)
- Was bedeutet hier "Abbildung von $ [mm] \IR^n [/mm] $ nach $ [mm] \IR^n [/mm] $ "?
Na ja, eine Abbildung bildet immer Elemente einer Definitionsmenge auf eine Zielmenge ab. In diesem Fall sind Definitions- und Zielmenge gleich dem [mm] $\IR^n$, [/mm] d.h. ein Vektor [mm] $\in \IR^n$ [/mm] wird auf einen anderen Vektor aus [mm] $\IR^n$ [/mm] abgebildet. Habe ich damit deine Frage beantwortet?
Was sind hier x und y und wie überprüfe ich schematisch allgemein auf injektivität/surjektivität? Muss ich erst eine Gleichung aufstellen?
Ich weiss nicht was du mit x und y meinst, nirgendwo sonst in deinem Thread steht etwas von x und y. Für lineare Abbildungen in einem endlich-dimensionalen Vektorraum ist das Überprüfen von Bijektivität besonders einfach. Ist die Abbildung nämlich injektiv/surjektiv, ist sie automatisch auch bijektiv (klar warum?).
Um Injektivität bei einer linearen Abbildung [mm] $\Phi$ [/mm] zu zeigen, muss man zeigen, dass die Dimension der Bildmenge der Dimension des Vektorraums entspricht, oder mit anderen Worten das der Kern der Abbildung nur die "0" als Element enthält, oder mit anderen Worten das eine inverse Abbildung existiert. Es gibt eine sehr einfache Möglichkeit, aber du wolltest es ja schematisch umschrieben haben.
Grüße, Nick
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