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Lösungsweg:
a) Sei f: [mm]\IR[/mm] [mm]\to[/mm] [mm]\IR[/mm]: x [mm]\mapsto[/mm] [mm]x^2[/mm]
[mm]f^{-1}(\{25 \}) = \{ 5,\, -5 \}[/mm]
Somit gilt [mm]f^{-1}[/mm](B) = A.
b) f({}) = f(a) : a [mm]\in[/mm]{} = {}
Somit gilt f({}) = {}.
c) Sei M = N = {0, 1} und f(0) = f(1) = 0. Falls B = {1}, so ist B kein Bild von einer Teilmenge aus M, da kein Element x aus M existiert, für welches gelten würde f(x) = 1. Es gilt: B [mm]\neq[/mm] f([mm]f^{-1}[/mm] (B)) = {}.
Somit gilt [mm]B1 \subseteq B2[/mm] [mm]\to[/mm] [mm]f^{-1}(B1) \subseteq f^{-1}(B2)[/mm] nicht.
d) y [mm]\in[/mm]f([mm]A_{1} \cup A_{2}[/mm]) [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\exists[/mm]x [mm]\in[/mm] [mm]A_{1} \cup A_{2}\[/mm] : f(x) = y
[mm]\Rightarrow[/mm] (x [mm]\in[/mm] [mm]A_{1}[/mm] [mm]\wedge[/mm] f(x) = y) [mm]\vee[/mm] (x [mm]\in[/mm] [mm]A_{2}[/mm] [mm][/mm][mm]\wedge[/mm]f(x) = y)
[mm]\Rightarrow[/mm] y [mm]\in[/mm] f([mm]A_{1}[/mm]) [mm]\vee[/mm] y [mm]\in[/mm] f([mm]A_{2}[/mm])
[mm]\Rightarrow y \in f(A_{1}) \vee f(A_{2})[/mm]
Also ist (x [mm]\in[/mm] [mm]A_{1}[/mm] : f(x) = y) [mm]\vee[/mm] [mm](x \in A_{2} : f(x) = y)[/mm]
[mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] [mm]A_{1}[/mm] [mm]\vee[/mm] [mm]A_{2}[/mm] : f(x) = y
[mm]\Rightarrow[/mm]y [mm]\in[/mm] f([mm]A_{1}[/mm] [mm]\vee[/mm] [mm]A_{2}[/mm])
Somit gilt f([mm]A_{1} \cup A_{2}[/mm]) = f([mm]A_{1}[/mm]) [mm]\cup[/mm] [mm]f(A_{2})[/mm].
e) + f): die beiden schaffe ich heute nicht mehr, ich kann dazu morgen noch etwas nachreichen.
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Hallo,
> Seien [mm]A_{1}[/mm] und [mm]A_{2}[/mm] Teilmengen von A, sowie [mm]B_{1}[/mm], [mm]B_{2}[/mm]
> [mm]\subseteq[/mm] B. Sei f : A [mm]\to[/mm] B.
> Beweisen oder Widerlegen Sie:
> a) [mm]f^{-1}[/mm](B) = A
> b) f({}) = {}
> c) Wenn B1 [mm]\subseteq[/mm] B2, dann gilt auch [mm]f^{-1}[/mm](B1)
> [mm]\subseteq[/mm] [mm]f^{-1}[/mm](B2)
> d) f([mm]A_{1}[/mm] [mm]\cup[/mm] [mm]A_{2}[/mm]) = f([mm]A_{1}[/mm]) [mm]\cup[/mm] f([mm]A_{2}[/mm])
> e) f(A\[mm]A_{1}[/mm]) = [mm]f(A)\f([/mm] [mm]A_{1}[/mm])
> f) [mm]f^{-1}[/mm](B1 [mm]\cup[/mm] B2) = [mm]f^{-1}[/mm](B1) [mm]\cap[/mm] [mm]f^{-1}[/mm]([mm]B_{2}[/mm])
>
>
> Lösungsweg:
> a) Sei f: [mm]\IR[/mm] [mm]\to[/mm] [mm]\IR[/mm]: x [mm]\mapsto[/mm] [mm]x^2[/mm]
> [mm]f^{-1}(\{25 \}) = \{ 5,\, -5 \}[/mm]
> Somit gilt [mm]f^{-1}[/mm](B) =
> A.
Du hast zunächst richtig erkannt, dass die Aussage wahr ist.
Aber soll das ein Beweis sein? Das ist doch bloß ein Beispiel, und aus [mm] $f^{-1}(\{25\}) [/mm] = [mm] \{-5, 5\}$ [/mm] kann ich nicht [mm] $f^{-1}(B) [/mm] = A$ schließen.
Voraussetzung ist $f:A [mm] \to [/mm] B$.
Zu zeigen ist [mm] $f^{-1}(B) [/mm] = A$.
Beweis: Zeige [mm] $\subset$ [/mm] und [mm] $\supset$.
[/mm]
Für den Beweis solltest du zunächst die Definition von [mm] $f^{-1}(B)$ [/mm] aufschreiben. Damit kannst du eine Richtung ganz leicht zeigen.
> b) f({}) = f(a) : a [mm]\in[/mm]{} = {}
> Somit gilt f({}) = {}.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
> c) Sei M = N = {0, 1} und f(0) = f(1) = 0. Falls B = {1},
> so ist B kein Bild von einer Teilmenge aus M, da kein
> Element x aus M existiert, für welches gelten würde f(x)
> = 1. Es gilt: B [mm]\neq[/mm] f([mm]f^{-1}[/mm] (B)) = {}.
Das ist richtig, ich sehe aber nicht, was das mit der zu zeigenden Aussage zu tun hat. Dein "Somit" im folgenden Satz verstehe ich nicht.
> Somit gilt [mm]B1 \subseteq B2[/mm] [mm]\to[/mm] [mm]f^{-1}(B1) \subseteq f^{-1}(B2)[/mm]
> nicht.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Die Aussage ist wahr!
Beginne so:
Sei $x [mm] \in f^{-1}(B_1)$. [/mm] Dann ex. $y [mm] \in B_1$ [/mm] so dass $f(x) = y$. Da $y [mm] \in B_1$, [/mm] gilt nach Voraussetzung auch ......
> d) y [mm]\in[/mm]f([mm]A_{1} \cup A_{2}[/mm]) [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\exists[/mm]x [mm]\in[/mm] [mm]A_{1} \cup A_{2}\[/mm]
> : f(x) = y
> [mm]\Rightarrow[/mm] (x [mm]\in[/mm] [mm]A_{1}[/mm] [mm]\wedge[/mm] f(x) = y) [mm]\vee[/mm] (x [mm]\in[/mm]
> [mm]A_{2}[/mm] [mm][/mm][mm]\wedge[/mm]f(x) = y)
> [mm]\Rightarrow[/mm] y [mm]\in[/mm] f([mm]A_{1}[/mm]) [mm]\vee[/mm] y [mm]\in[/mm] f([mm]A_{2}[/mm])
> [mm]\Rightarrow y \in f(A_{1}) \vee f(A_{2})[/mm]
Damit ist ist eine Richtung gezeigt: " [mm] \subset [/mm] "
Ich gehe mal davon aus, dass du jetzt die andere zeigen möchtest:
> Also ist (x [mm]\in[/mm] [mm]A_{1}[/mm] : f(x) = y) [mm]\vee[/mm] [mm](x \in A_{2} : f(x) = y)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] [mm]A_{1}[/mm] [mm]\vee[/mm] [mm]A_{2}[/mm] : f(x) = y
> [mm]\Rightarrow[/mm]y [mm]\in[/mm] f([mm]A_{1}[/mm] [mm]\vee[/mm] [mm]A_{2}[/mm])
> Somit gilt f([mm]A_{1} \cup A_{2}[/mm]) = f([mm]A_{1}[/mm]) [mm]\cup[/mm] [mm]f(A_{2})[/mm].
Gut !
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:50 Sa 05.05.2012 | | Autor: | Ptolemaios |
Hat sich geklärt.
Danke & Gruß
Ptolemaios
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:32 So 06.05.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Hat das eine besondere Bewandtnis, dass du bei einer beaatworteten Frage die Frage unleserlich machst?
Gruß
Loddar
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