Bild/Abbildung < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe noch ein Problem mit dem Begriff Bild und Abbildung bei Matrizen. Außerdem mit dem Zusammenhang von Kern (=Nullraum?), Basis und Dimension.
zB solche Definitionen wie rang(A)=dim(Bild) lassen mich verzweifeln. Ich kenn mittlerweile durch Wiki und Bücher so einige Definitionen, aber ich kan keinen Zusammenhang feststellen und weiß nicht was ich rechnen muss, wenn die Begriffe in der Aufgabenstellung zu Matrizen drankommen.
Kann sich jemand die Zeit nehmen und mir dies kurz erläutern? Eine Übersicht wäre echt hilfreich!
Lieben Dank!
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> Hallo,
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> ich habe noch ein Problem mit dem Begriff Bild
Hallo,
das Bild einer Matrix ist der Raum, der von ihren Spalten aufgespannt wird, die Dimension dieses Raumes der Rang der Ratrix.
> und
> Abbildung bei Matrizen.
Zu jeder linearen Abbildung f:V [mm] \to [/mm] W gehört eine Matrix [mm] A_f, [/mm] die darstellende Matrix der Abbildung f , so daß
f(x)= Ax für all [mm] x\in [/mm] V gilt.
> Außerdem mit dem Zusammenhang von
> Kern (=Nullraum?),
Der Kern einer Matrix besteht aus allen vektoren x, für welche Ax=0 gilt,
der Kern einer linearen Abbildung aus allen x, für welche f(x)=0 ist. Dies entspricht A_fx=0.
der Kern ist ein (Unter)Vektorraum, hat also eine basis und eine Dimension.
> Basis und Dimension.
>
> zB solche Definitionen wie rang(A)=dim(Bild) lassen mich
> verzweifeln. Ich kenn mittlerweile durch Wiki und Bücher so
> einige Definitionen, aber ich kan keinen Zusammenhang
> feststellen und weiß nicht was ich rechnen muss, wenn die
> Begriffe in der Aufgabenstellung zu Matrizen drankommen.
Wenn die Dimension des Bildes einer Matrix gefragt ist, bestimmst Du mit dem Gaußverfahren den Rang, das ist ja die Dimension des Bildes,
Ist eine Basis des Bildes gesucht, mußt Du - nein, das erkläre ich Dir lieber mal, wenn Du ein konkretes Beispiel einer Matrix bringst (Matrix und ihre ZSF)
Und wenn Du sagen sollst, was Kern A ist, bestimmst Du den Lösungsraum von Ax=0.
das läuft also auf die Lösung eines linearen homogenen Gleichungssystems hinaus.
Gruß v. Angela
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Danke.
Wie bestimme ich denn Ax=0 wenn ich ein Gleichungssystem habe, das zB lautet [mm] 2x_1 [/mm] - [mm] 2x_x [/mm] + [mm] 6x_3 +x_4 [/mm] = 6 usw?
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> Danke.
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> Wie bestimme ich denn Ax=0 wenn ich ein Gleichungssystem
> habe, das zB lautet [mm]2x_1[/mm] - [mm]2x_x[/mm] + [mm]6x_3 +x_4[/mm] = 6 usw?
Hallo,
mit irgendeiner der Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme, die Du beherrschst.
Wenn's etwas systematisch und mit wenig schreiben sein soll: erweiterte Koeffizientenmatrix aufstellen, mit dem Gaußalgorithmus lösen.
Gruß v. Angela
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Was ich meine: Bei der genannten Gleichung habe ich doch rechts eine 6 stehen, keine 0 (Ax=0). Dann wäre das doch keine Ax=0-Form mehr.
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> Was ich meine: Bei der genannten Gleichung habe ich doch
> rechts eine 6 stehen, keine 0 (Ax=0). Dann wäre das doch
> keine Ax=0-Form mehr.
Hallo,
achso. Nein, ein homogenes LGS ist das nicht.
Es ist ein inhomogenes LGS, bei welchem Du mit der erweiterten Koeffizientenmatrix (A|b) arbeitest.
Auch diese ist auf ZSF zu bringen, wenn Du das System mit Gauß lösen willst.
Es werden aber bei der Bestimmung von Kern und Bild einer Matrix bzw. einer linearen Abbildung überhaupt keine inhomogenen Systeme vorkommen.
Gruß v. Angela
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Hat das etwas damit zu tun, dass man bei linearen Abbildungen immer gleich 0 setzt, weil nach Definition der Kern des Bildes phi =0 ist?
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> Hat das etwas damit zu tun, dass man bei linearen
> Abbildungen immer gleich 0 setzt, weil nach Definition der
> Kern des Bildes phi =0 ist?
Hallo,
ja, homogen ist das Gleichungssystem, weil der Kern einer Abbildung all das beinhaltet, was auf die Null abgebildet wird.
Gruß v. Angla
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Wo ich noch einfach sehr unsicher bin ist, dass ich nicht auf Anhieb weiß, was ich berechnen soll, wenn diese Begriffe in der Aufgabenstellung auftauchen.
Nun weiß ich zwar, dass ich darauf achten soll ob da steht "Lösen Sie das Geleichungssystem und bestimmen Sie..." oder "Gegeben ist die lineare ABbildung, bestimmen Sie..." da ich bei letzterem Ja die Matrix = 0 setzen muss (ist das die einzige Aufgabenstellung vo etwas mit "Bild" vorkommen kann?)
Nullraum/Kern ist ja für Fall ist alles, was neben der Identitätsmatrix stehen bleibt. Und Span schreibe ich, wenn ich die Matrix mit -1 ergänzt habe?
Ansonsten bleibt immernoch das Problem mit der Basis, der Dimension und dem Bild. Ich weiß dann nie, was ich berechnen muss :(
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> (ist das
> die einzige Aufgabenstellung vo etwas mit "Bild" vorkommen
> kann?)
Hallo,
Bild kommt ausdrücklich vor, wenn man das Bild einer linearen Abbildung bestimmen soll oder das einer Matrix.
es sind natürlich auch Aufgabenstellungen denkbar, bei denen nman aus irgendeinem Grunde das Bild berechnen muß, ohne daß ausdrücklich dasteht "Bild berechnen".
> Nullraum/Kern ist ja für Fall ist alles, was neben der
> Identitätsmatrix stehen bleibt.
???
> Und Span schreibe ich, wenn
> ich die Matrix mit -1 ergänzt habe?
???
Der Span einer Menge von Vektoren ist die menge, die sämtliche Linearkombinationen dieser Vektoren enthält.
Wenn Du festgestellt hast, daß z.B. [mm] v_1, v_2 [/mm] eine Basis eines gefragten Bildes sind, kannst Du schreiben [mm] Bild=span(v_1, v_2) [/mm] bzw. [mm] Bild=.
[/mm]
Für den Kern genauso.
>
> Ansonsten bleibt immernoch das Problem mit der Basis, der
> Dimension und dem Bild. Ich weiß dann nie, was ich
> berechnen muss :(
Tja. Je nachdem, was gefragt ist, würd' ich sagen.
Oft soll man ja die Basis des Bildes angeben. Dafür muß man das Bild wissen und eine Basis. Wenn man eine Basis hat, ist die Dimension ja wirklich leicht.
Gruß v. Angela
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