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| Aufgabe | | Bestimmen Sie das Bild der Quadrik Q [mm] \subseteq \IR^{3} [/mm] gegeben durch [mm] x^{2}-y^{2}+2xz-y+3z-2=0 [/mm] unter der Affinität f(x,y,z)=(3-x+2z,2+y+z,1-x+z). |
Hallo liebe Mathefreunde!
Ich habe die Aufgabe komplett bearbeitet und möchte eigentlich nur wissen, ob alles richtig ist.
Als erstes bestimme ich die Matrix B der Quadrik Q:
[mm] A=\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 }
[/mm]
[mm] c=\pmat{ 0 \\ -1 \\ 3 }
[/mm]
[mm] a=\bruch{1}{2}c=\pmat{0 \\ -\bruch{1}{2} \\ \bruch{3}{2}}
[/mm]
[mm] B=\pmat{ d & a^{T} \\ a & A}=\pmat{-2 & 0 & -1/2 & 3/2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ -1/2 & 0 & -1 & 0 \\ 3/2 & 1 & 0 & 0}
[/mm]
Anschließend bestimme ich die Matrix C der Affinität:
[mm] b=f(0,0,0)=\pmat{3\\2\\1}
[/mm]
[mm] A=\pmat{-1 & 0 & 2\\ 0 & 1& 1 \\ -1&0&1}
[/mm]
[mm] C=\pmat{1 & 0 \\ b & A}=\pmat{1&0&0&0\\3&-1&0&2\\2&0&1&1\\1&-1&0&1}
[/mm]
Nun kann ich die Matrix B' von f(Q) errechnen:
[mm] B'=(C^{-1})^{T}*B*C^{-1}=\pmat{1&-1&0&-2\\0&1&-1&1\\0&0&1&0\\0&-2&1&-1}*\pmat{-2&0&-1/2&3/2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ -1/2 & 0 & -1 & 0 \\ 3/2 & 1 & 0 & 0}*\pmat{1&0&0&0 \\ -1&1&0&-2 \\0&-1&1&1 \\ -2&1&0&-1}=\pmat{-3 & -2 & -1/2 & 5 \\ -2 & 2 &1 -4 \\ -1/2 & 1 & -1 & -1 \\ 5 & -4 & -1 & 7}
[/mm]
Also ist das Bild f(Q) der Matrix Q:
f(Q): [mm] 2x^{2}-y^{2}+7z^{2}+2xy-8xz-2yz-4x-y+10z-3=0
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:40 Do 02.07.2009 | | Autor: | klaeuschen |
Kann mir keiner die Frage beantworten? Hatte ich vielleicht einen Denkfehler bei der Lösung, oder ist alles richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 Sa 04.07.2009 | | Autor: | Nachbar |
salü,
habe alles nach deinem Schema nachgerechnet und komme auf dasselbe Ergebniss....
jetzt wirst du wohl weiter mit Standardformen rechnen !!!
Grüße !!!
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